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Komposition, injektive und surjektive Abbildung

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Tags: Abbildung, Injektivität, Komposition, surjektivität

 
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Michi98

Michi98 aktiv_icon

17:56 Uhr, 15.05.2019

Antworten
Seien X,Y nichtleere Mengen und sei f:XY eine Abbildung. Zeigen Sie die folgende Aussage:
Es gibt eine Menge Z, eine surjektive Abbildung h:XZ und eine injektive Abbildung g:ZY mit f=goh.

Meine Ideen:
mir ist der Anfang dieses Beweises nicht klar... muss ich annehmen, dass es eine Menge Z gibt, die surjektiv abbildet und dann beweisen, ob es eine injektive Abbildung g gibt... oder muss ich zeigen, dass es eine Komposition gibt?
Danke schonmal für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

20:38 Uhr, 15.05.2019

Antworten
Hallo,

uff, ich wüsste auch gar nicht, wie ich dir helfen könnte, ohne gleich die ganze Lösung zu posten.

Ok, wir gehen von einer beliebigen Abbildung f:XY aus.

Beginnen wir erst einmal mit der Menge Z: Da es eine injektive Abbildung g:ZY geben soll, kann man Z als in Y eingebettet verstehen.
Warum dann nicht gleich eine Teilmenge von Y nehmen?!
Da g injektiv ist und wegen f=gh muss g:ZIm(g) logischerweise bijektiv sein.
Wir suchen also eine Teilmenge von Y, die bijektiv zu Im(g) (=Im(f)???) ist.
Da liegt Z:={f(x)xX}=f(X)=Im(f) nahe.
Die Abbildung g könnte dann einfach die Inklusion g:{ZYzz nehmen.

Jetzt noch h: Da Z nur die Bilder unter f enthält, definieren wir doch auch einfach h als f. Dass h:XZY gilt (und damit die Wertemenge nicht zu passen scheint), ist nur scheinbar. Offenbar (so definieren wir h) stimmen f und h als Paarmenge betrachtet überein: h(x):=f(x) für alle xX.

So definiert passen alle Anforderungen, was natürlich nachgewiesen sein will.
Und hier kommst du ins Spiel.

Ist das tatsächlich die ganze Aufgabe, oder fehlt da noch etwas?
Sicherheit könnte ein Scan der Originalaufgabenstellung geben...

Mfg Michael
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.