Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kompositionen sollen u U kommutativ sein

Kompositionen sollen u U kommutativ sein

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: kommutativ, Relation.

Underfaker aktiv_icon

20:33 Uhr, 09.11.2011

Ich brauche erstmal nur eine Erklärung zur Aufgabe, dann will ich sehen ob ich das nicht hinbekomme.

Welche der (drei) möglichen Kompositionen von zwei der drei Funktionen

f : R^{+} \to R^{+}, x \to \sqrt{x}

g : R^{+} \to R^{+}, x \to \frac{1}{x}

h : R^{+} \to R^{+}, x \to x + 1

sind kommutativ?

Es wird Begründung oder Gegenbeispiel benötigt.

Komposition heißt ja im Prinzip Verkettung, ich muss also immer 2 der drei Funktionen verketten, heißt es gibt drei mögliche Verkettungen, oder?
Und dabei soll dann die Reihenfolge egal sein (kommutativ...)

Meine eigentliche Frage ist auch, wie ich mir das vorzustellen habe, also diese Verkettungen.

Das

(\in

dem komisch gestrichelten) kann erstmal weggelassen werden ;-) .

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

Ist das dann sowas:

x \to \sqrt{x} \to \frac{1}{x}

und

x \to \frac{1}{x} \to \sqrt{x}

?
Oder sowas:

\frac{1}{x} \to x \to \sqrt{x}

und

\sqrt{x} \to x \to \frac{1}{x}

?

Und wie erkenne ich dann das es egal ist, ich hab für die beiden Vorschläge einfach mal was eingesetzt aber da erschließt sich mir keinerlei Sinn, da stehen die Zahlen halt entsprechend in einer anderen Reihenfolge weswegen ich davon ausgehe das es falsch ist.

Ich wäre über Hilfe sehr dankbar :-)

Hab grad nen Ansatz gefunden, bitte noch nichts schreiben :-)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Soooo ich sage die Komposition

f \circ g

ist kommutativ die anderen beiden nicht.

Ich habe nur noch ein Problem mit der Begründung, ich habe folgendes gemacht:

f (g (x)) :

g (x) = \frac{1}{x} f (x) = \sqrt{x} \Rightarrow f (g (x)) = \sqrt{\frac{1}{x}}

g (f (x)) : \frac{1}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{x}}

(wie man das zeigt, weiß ich grad nicht dürfte aber ganz leicht sein?!)

Bei den anderen beiden Möglichkeiten kam Schmarn raus:

\sqrt{x + 1} \neq \sqrt{x} + 1

und

\frac{1}{x + 1} \neq \frac{1}{x} + 1

Was haltet ihr davon?

Yokozuna aktiv_icon

11:58 Uhr, 12.11.2011

Hallo,

es ist eigentlich alles richtig, was Du gesagt hast. Wenn

f \circ g

kommutativ sein soll, bedeutet dies ja, daß

f \circ g = g \circ f

ist bzw.

(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x)

für alle

x \in ℝ^{+}

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = \sqrt{g (x)} = \sqrt{\frac{1}{x}}

und

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{x}}

Das

\sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}

gilt, folgt einfach aus den Potenzgesetzen:

\sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}

Damit gilt dann

(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x)

für alle

x \in ℝ^{+}

.
Die beiden anderen Kompositionen sind, wie Du schon sagtest, nicht kommutuativ (es gibt nicht mal ein einziges

x \in ℝ^{+},

für das

f (h (x)) = h (f (x))

bzw.

g (h (x)) = h (g (x))

gelten würde).

Viele Grüße
Yokozuna

Underfaker aktiv_icon

13:20 Uhr, 12.11.2011

Vielen Dank

=)

Die Umstellung über die Potenzgesetze hatte ich mittlerweile auch raus, danke fürs drüber sehen.

938115

937278

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?