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Kompositionsreihen sporadischer Gruppen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Algebra, Gruppen, Monstergruppe, sporadische Gruppe
 
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Hallo zusammen, ist es überhaupt möglich, von sporadischen Gruppen wie der Monstergruppe oder einer Mathieugruppe die maximale Elementordnung oder eine Kompositionsreihe zu bestimmen? Bin gerade dabei, die sporadischen Gruppen kennenzulernen und frage mich, wie man diese wie "leichtere" Gruppen wie die symmetrischen Gruppen charakterisieren kann. Vielen Dank im Voraus! user3333 |
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Hallo, ist eine einfache Gruppe, so ist eine Kompositionsreihe. Gruß ermanus |
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Vielen Dank für deine Antwort! Jetzt muss ich nur noch herausfinden, wie ich die Elementordnung von Elementen in verschiedenen sporadischen Gruppen bestimmen kann :-) |
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Hallo, das wird wohl nicht so einfach sein; denn die Gruppen heißen ja deswegen sporadisch, weil sie nicht zu einer übersichtlichen gleichartigen Familie einfacher Gruppen gehören, also seltene (sporadische) Fälle darstellen. Zu den Mathieu-Gruppen kann ich da bestenfalls auf den Wikipedia-Artikel de.wikipedia.org/wiki/Wittscher_Blockplan verweisen, auf den ich gestoßen bin, weil Witt mein wichtigster akademischer Lehrer war. Leider habe ich auf diesem Gebiet dennoch keine Ahnung, da ich seine wenigen Vorträge darüber vor 50 Jahren gehört habe und auch bezweifle, dass ich sie damals wirklich verstanden habe. Gruß ermanus |
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Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe ermanus! Ich habe zu einer bestimmten Mathieugruppe tatsächlich etwas über die maximale Elementordnung herausfinden können, zu den anderen finde ich leider nichts... Ich versuche mich mal anderweitig zu erkundigen und hoffe so meine Frage zu klären :-) Liebe Grüße, user3333 |
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Hallo ermanus, mir ist gerade nochmals eine Frage bezüglich deines Beitrags vom 04.03. zu den Kompositionsreihen eingefallen: Du schreibst ja, dass jede einfache Gruppe die "triviale" Kompositionsreihe besitzt, das ist auch logisch (die sporadischen Gruppen sind ja einfach). Allerdings bin ich nun auf folgende Aussage gestoßen: "Jede endliche Gruppe besitzt eine Kompositionsreihe". Ich bin nun etwas verwirrt, da meines Wissens nach beispielsweise die alternierende Gruppe für nicht auflösbar ist, also auch keine Kompositionsreihe besitzt. Die alternierende Gruppe ist ja auch nicht notwendigerweise abelsch, also insbesondere auch nicht das Stück . Laut diesem Satz müsste aber (da die Gruppe endlich ist) eine Kompositionsreihe existieren. Erkennst du eventuell, wo mein Denkfehler liegt? Liebe Grüße, user3333 |
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Hallo, du bekommst da wohl etwas durcheinander. Die mit ist einfach. Ihre Kompositionsreihe ist also trivial. Sie ist aber nicht auflösbar, da der der einzige "Faktor" in der trivialen Kompositionsreihe die Gruppe selbst ist, und diese ist ja nicht zyklisch. Auflösbarkeit heißt ja nicht, dass eine Kompositionsreihe existiert, sondern dass die Faktoren einer Kompositionsreihe abelsch und damit sogar zyklisch sind. Gruß ermanus |
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Hallo ermanus, je mehr ich darüber nachdenke, desto verwirrter werde ich. Bei einer Kompositionsreihe muss doch jede vorhergehende Untergruppe in der darauffolgenden die Eigenschaft des Normalteilers besitzen, zudem muss die entsprechende Faktorgruppe zyklisch von Primzahlordnung sein, so die Definition in der Algebravorlesung damals. Außerdem hatten wir einen Satz, der besagt, dass die Auflösbarkeit einer Gruppe äquivalent dazu ist, dass die Gruppe G eine Kompositionsreihe besitzt, für G endlich. Damit haben wir gefolgert, dass für die symmetrische und alternierende Gruppe für keine Kompositionsreihe existiert. Bedeutet das, dass nur die triviale Kompositionsreihe existiert oder wirklich keine? Wie kann es dann sein, dass die triviale Kompositionsreihe nach der Definition von oben wirklich eine Kompositionsreihe ist, da ja die Faktorgruppe nicht zyklisch von Primzahlordnung sein muss? Entschuldige die vielen Fragen, ich stehe gerade wirklich auf dem Schlauch! :I Liebe Grüße, user3333 |
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"zudem muss die entsprechende Faktorgruppe zyklisch von Primzahlordnung sein, so die Definition in der Algebravorlesung damals." Das gilt doch nur, wenn die Gruppe auflösbar ist. Da aber jede endliche Gruppe (aus trivialen Gründen) eine Kompositionsreihe besitzt, wäre dann ja jede endliche Gruppe auflösbar. Das sollstest du nochmal genau nachlesen. Ich habe gelernt: "eine Gruppe heißt auflösbar, wenn sie eine Kompositionsreihe besitzt mit zyklischen Faktoren" und nicht: "wenn sie eine Kompositionsreihe besitzt." |
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Hier nochmal ein Beispiel: hat die Kompositionsreihe . Dies ist eine Kompositionsreihe, da sie eine Subnormalreihe ist, die sich nicht verfeinern lässt. Der Faktor , ist aber nicht zyklisch, nicht einmal abelsch, also ist nicht auflösbar. |
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Hallo ermanus, ich glaube, ich weiß wo man Problem lag. Wir haben jeweils unterschiedliche Definitionen von Kompositionsreihen kennengelernt! Beispielsweise existiert nach meiner Definition wirklich keine Kompositionsreihe für die , nach deiner tatsächlich schon! Sorry für die Verwirrung :-) Liebe Grüße, user3333 |
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Hallo, ich habe sicherheitshalber mal nachgeschaut, ob ich "deine" Definition in der Literatur irgendwo finden kann. Das ist mir aber nicht gelungen. "Deine" Definition wird nirgendwo verwendet. Ich habe 15 Algebrabücher ab 1922 bis 2018 durchforstet und immer nur "meine" Definition gefunden. Daher halte ich es für vernünftig "meine" Definition zu übernehmen ;-) Hier auch ein Wikipedia-Link dazu: de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Gruppentheorie) LG ermanus |
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Hallo ermanus, vielen Dank für deine Mühe :-) Genau, ich werde mich an "deine" Definition halten, dennoch etwas seltsam, dass wir das damals ganz anders kennengelernt haben :-) Liebe Grüße, user3333 |
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