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Kongruente Zahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: BSD, Kongruenz, Tunnell

Sukomaki aktiv_icon

14:06 Uhr, 05.02.2023

Hallo,

ich suche ein endliches Verfahren, um kongruente Zahlen zu bestimmen. Laut Netz soll das wie folgt funktionieren :

A_{n} = # {(x, y, z) \in ℤ ∣ n = 2 x^{2} + y^{2} + 32 z^{2}}

B_{n} = # {(x, y, z) \in ℤ ∣ n = 2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2}}

C_{n} = # {(x, y, z) \in ℤ ∣ n = 8 x^{2} + 2 y^{2} + 64 z^{2}}

D_{n} = # {(x, y, z) \in ℤ ∣ n = 8 x^{2} + 2 y^{2} + 16 z^{2}}

.

Tunnell's Theorem besagt, dass - angenommen

n

eine kongruente Zahl ist - wenn

n

ungerade ist, dann

2 A_{n} = B_{n}

und

2 C_{n} = D_{n}

wenn

n

gerade ist. Umgekehrt, wenn die Birch und Swinnerton-Dyer Vermutung wahr ist für elliptische Kurven der Form

y^{2} = x^{3} - n^{2} x

, sind diese Gleichheiten ausreichend, um zu schließen, dass

n

eine kongruente Zahl ist.

Die Wichtigkeit von Tunnell's Theorem ist, dass das Kriterium das es liefert mit einer endlichen Berechnung getestet werden kann. Zum Beispiel - für ein gegebenes

n

- können die Zahlen

A_{n}, B_{n}, C_{n}, D_{n}

mit einer erschöpfenden Suche durch

x, y, z

im Bereich

- \sqrt{n}, \dots, \sqrt{n}

berechnet werden.

Ich habe die Gleichheiten in C++ implementiert. Aber das klappt nicht so ganz :-(

Z.B. für

n = 24

(kongruente Zahl) sind

A_{n} = 4, B_{n} = 8, C_{n} = 0, D_{n} = 8

also,

2 C_{n} \neq D_{n}

Das heißt, selbst wenn BSD für

y^{2} = x^{3} - 2 4^{2} x

wahr ist, zählt

n

nicht als kongruent.

Wo ist hier mein Denkfehler?

Gruß
Sukomaki

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Dreiecke und Kongruenz

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