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Kongruenzen und modulo

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Tags: Kongruenz, modulo

 
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anonymous

anonymous

17:11 Uhr, 03.06.2016

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Hallo und zwar habe ich das rechnen mit Kongruenzen noch nicht so wirklich verstanden ...

a) Für welche mEN gilt: -11= (kongruent) 1(modm)?

b) Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt n3= (kongruent) n(mod3)



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Apilex

Apilex aktiv_icon

18:17 Uhr, 03.06.2016

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zwei Zahlen a,b sind konkuent bezüglich modm wenn amodm=bmodm

a)k∈ℤ-11+k1⋅m=1+k2⋅m⇒12=m⋅(k1-k2)⋅m→(m teiler von 12

b) sei k2⋅3+c=n⇒n3=(k2⋅3+c)3=

Fall 0⇒c=0 trivial
Fall 1⇒c=1 selber nachrechnen
Fall 2⇒c=2 selber nachrechnen
Antwort
Starwick

Starwick aktiv_icon

19:30 Uhr, 03.06.2016

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Zu a)
Kongruenz a≡bmod(m) ist gleichbedeutend mit mk =a-b für ein k∈ℤ also

-11≡1mod(m) ist -11-1=-12, also -12=km⇒m=12 für k=-1. Also 12|-12

Zu b)

Beweis von : Für alle n∈ℕ gilt 3|(n³-n).

Vollständige Induktion:

Ind-anfang: Sei n=1 dann ist 3|(1³-1) ⇒3|0.

Ind-schritt:
zu zeigen
3|n³-n ⇒ 3|[(n+1)³-(n+1)].

(n+1)³-(n+1) = n³ + 3n² +2n+n-n
= n³-n + 3n² +3n.

Also wegen Induktionsvoraussetzung 3|(n³-n) und 3|(3n² +3n)
folgt 3|(n³-n + 3n² +3n)

wzbw.
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