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Tags: Algebraische Zahlentheorie, Analytische Zahlentheorie, Elementare Zahlentheorie, Gruppen

 
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Matillo

Matillo aktiv_icon

19:23 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Betrachte die Gruppe Γ0(2)={(abcd)SL2()c0(mod2)}
und
I=(1001) ,
S=(0-110) ,
T-1S=(-1-110) ,
mit T=(1101)

Jetzt will ich zeigen , dass diese Matrizen Repräsentanten fuer die Nebenklassen in SL2()/Γ0(2) darstellen .

Es gibt insgesamt 3 Nebenklassen ,da SL2()/Γ0(2)=3

SL2()/Γ0(2)={I,S,T-1S}

Ich denke "" ist klar , weil diese Matrizen in SL2() und IΓ0(2) .

Umgekehrt weiss ich grad nicht , wie man vorgeht .

Danke fuer eure Hilfe !


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:27 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Hallo,
wie du leicht siehst, ist T-1Γ0.
Daher gilt
Γ0T-1=Γ0Γ0T-1S=Γ0S,
also repräsentieren S und T-1S dieselbe Nebenklasse mod Γ0.
Dein angebliches Repräsentantensystem hat also ein Problem :(
Gruß ermanus
Matillo

Matillo aktiv_icon

20:55 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Hi ,

ich danke dir fuer deine Antwort . Die urspruengliche Aufgabe war :
Show that I,S,T-1S are coset representatives for Γ0(2) in SL2().
Deduce that a fundamental domain for Γ0(2) is given by FSFSTF , where F is the standard fundamental domain for SL2() .

Dann ist vielleicht ein Druckfehler bei dieser Aufgabe .
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:11 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Vielleicht stimmt die Definition von Γ0(2) nicht?
Matillo

Matillo aktiv_icon

22:37 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Muesste richtig sein , siehe en.wikipedia.org/wiki/Congruence_subgroup .
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:02 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Da steht aber (abcd)Γ und nicht wie
bei dir SL2(). Das ist wohl das Problem ?!?
Matillo

Matillo aktiv_icon

23:06 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Ich denke Γ=SL2()
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:07 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Ja, sehe ich auch gerade, sorry!
Werde nochmal nachdenken ...
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:14 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Der Wikipedia-Artikel bietet die Repräsentanten
I,(1011),(0-110) an.
Matillo

Matillo aktiv_icon

23:17 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Ok , dann liegt echt ein Druckfehler vor bei der Aufgabenstellung .
Matillo

Matillo aktiv_icon

23:39 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Sollte dann vielleicht S(ST)-1 heißen , wobei die Darstellung auch nicht eindeutig ist .
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:50 Uhr, 22.08.2019

Antworten
Vielleicht ... In der Tat gibt es abertausend Möglichkeiten für die
Repräsentanten. Ich wünsche nun eine gute Nacht.
Gruß ermanus
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.