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Konische Spirale Länge und Geschwindigkeit berechn

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12:04 Uhr, 13.05.2012

Hallo ich habe schon überall gegoogelt, aber leider nichts gefunden, was mir der der Lösung dieser Aufgabe helfen könnte. Hat jemand eine Idee?

Jeden Morgen beginnt ein Vogel mit seinen Flugübungen. Sein Startplatz ist genau 10m über dem Boden. Da er gerne Spiralen fliegt, hat er sich folgendes überlegt:
Ich fliege genau 10 mal kreisförmig um den Baum herum und bin dabei im gleichmäßigen Sinkflug (genauer gesagt: die Sinkposition ist proportional zum zurückgelegten Winkel). Den Radius steigere ich von 0 anfangend kontinuierlich, so dass ich ganz am Ende in 10m Abstand vom Baum (genauer gesagt vom Lotpunkt des Startplatzes) lande.

Er startet mit der Geschwindigkeit 0. Durch den Sinkflug steigt die Geschwindigkeit gleichmäßig, bis Hansi schließlich mit 31 km/h auf den Boden aufschlägt.

Wie lang war seine Flugbahn und wie lange sein Flug gedauert hat.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

01:37 Uhr, 14.05.2012

10 Umrundungen wären ein Winkel von

20 π

Wenn der Radius "kontinuierlich" also gemeint ist wohl linear mit dem winkel steigt, ergibt sich folgender Zusammenhang:

r (φ)

ist eine lineare Funktion

r (0) = 0

und

r (20 π) = 10

r (φ) = \frac{φ}{2}

Jetzt bräuchte man noch die Gesamtlänge der Spirale:

Die Formel für den Kreisumfang ist bekanntlich

U = 2 π \cdot r

Wenn der Kreis sich im Radius ändert, muss man winzige Teilkreisbähnchen zusammenintegrieren - oder man spickt dort nach dem Ergebnis:

http//de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale

Der Rest ist trivial

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08:21 Uhr, 15.05.2012

Hallo.
Danke für Deine Antwort, leider kann ich damit noch nicht so richtig was anfangen. Was heißt das denn jetzt in Zahlen ausgedrückt?

Edddi aktiv_icon

10:23 Uhr, 15.05.2012

...ganz so einfach wie oben beschrieben wird's nicht werden.

Wir haben Proportionalität zw. Sink-Höhe und Winkel:

Δ h ~ φ \Rightarrow h (φ) = - 10 \cdot \frac{φ}{20 \cdot π} = - \frac{φ}{2 \cdot π}

Desweitern gilt:

r ~ φ \Rightarrow r (φ) = 10 \cdot \frac{φ}{20 \cdot π} = \frac{φ}{2 \cdot π} = - h (φ)

Transformation in kart. Koordinaten mit Parameter

φ

ergibt:

x (φ) = r (φ) \cdot cos (φ) = \frac{φ}{2 \cdot π} \cdot cos (φ)

y (φ) = r (φ) \cdot sin (φ) = \frac{φ}{2 \cdot π} \cdot sin (φ)

z (φ) = h (φ) = - \frac{φ}{2 \cdot π}

Bogenlänge somit:

L = \int_{0}^{20 \cdot π} \sqrt{\frac{d^{2} x (φ)}{d φ^{2}} + \frac{d^{2} y (φ)}{d φ^{2}} + \frac{d^{2} z (φ)}{d φ^{2}}} \cdot d φ

mit:

\frac{d x (φ)}{d φ} = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot (cos (φ) - φ \cdot sin (φ))

\frac{d y (φ)}{d φ} = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot (sin (φ) + φ \cdot cos (φ))

\frac{d z (φ)}{d φ} = - \frac{1}{2 \cdot π}

L = \int_{0}^{20 \cdot π} \sqrt{{(\frac{d x (φ)}{d φ})}^{2} + {(\frac{d y (φ)}{d φ})}^{2} + {(\frac{d z (φ)}{d φ})}^{2}} \cdot d φ

L = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot \int_{0}^{20 \cdot π} \sqrt{{(cos (φ) - φ \cdot sin (φ))}^{2} + {(sin (φ) + φ \cdot cos (φ))}^{2} + 1} \cdot d φ

L = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot \int_{0}^{20 \cdot π} \sqrt{φ^{2} + 2} \cdot d φ

L = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot {[\frac{φ}{2} \cdot \sqrt{φ^{2} + 2} + {sinh}^{- 1} (\frac{φ}{\sqrt{2}})]}_{0}^{20 \cdot π}

L = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot [10 \cdot π \cdot \sqrt{400 \cdot π^{2} + 2} + {sinh}^{- 1} (\frac{20 \cdot π}{\sqrt{2}})]

L = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot [1974,42 + 4,487]

L = 314,95

...nun hast du schonmal die Weglänge.
Mit der gleichmäßig beschl. Bewegung von 0 auf

31 \frac{k m}{h} (! 31 \frac{k m}{h} = 8,611 \frac{m}{s}!!)

solltest du nun klassich die Zeit berechnen können

;-)

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14:02 Uhr, 15.05.2012

Vielen Dank für die schnelle Antwort, sie hat mir gut geholfen. Das ist schon ganz schön starker Tobak...

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