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Es sei und eine Permutation. Zeigen Sie, dass der Konjugationsautomorphismus
Zykel auf Zykel abbildet und dabei die Zykellänge erhält, dass heißt, dass für einen Zykel der Länge auch ein Zykel der Länge ist.
Ein Konjugationsautomorphismus ist ja nichts anderes als ein Gruppenautomorphismus. Dabei muss ich dann doch nur die Verknüpfung zweier Zykel betrachten, oder?
Also ?
Wie mache ich das mit der Länge?
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, nein du musst zeigen: Zykel ist Zykel gilt. Ich denke übrigens, dass es nicht , sodern heißen sollte; sonst gibt das keinen Sinn. Schau dir die Originalaufgabe nochmal genau an. Gruß ermanus
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Ne der Automorphismus lautet
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Hallo,
kannst du bitte einen Scan der Orgiginalaufgabenstellung posten (Bitte beachte die Obergrenze von 500 kB, sowie, dass ich weder auf dem Kopf stehende oder um 90° verdrehte Handybilder von deinem Bildschirm lesen möchte. Sicherlich hast du deine Aufgabe in digitaler Form vorliegen [evtl. nur auf einer Homepage], sodass du mit dem von dir genutzten OS nur einen Screenshot machen musst. Kann dein OS das nicht, benutze eines, bei dem das geht.)
Mich macht stutzig, dass bei dir > , steht statt ,
Mfg Michael
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Hab schon was dazu gefunden. VG
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Hallo,
für alle anderen:
Die Menge der Konjugationsautomorphismen bildet mit der Hintereinanderausführung "" eine Gruppe . Es gelten und , d.h. die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus.
Das ist schon ein ziemlicher Stapel Theorie vorweg, aber nicht schwierig zu leisten.
Wenn man das hat, kann man sich bei den Permutationen zunächst auf die Transpositionen beschränken und die geforderte Eigenschaft dort beweisen. Dazu ist vermutlich eine Fallunterscheidung hilfreich: Sei der zu betrachtende Zykel . Dann gibt es, was anbelangt, 3 Fälle: 1. 2. , aber 3.
Für die Fälle 1. und 2. ist ziemlich einfach zu rechnen. Für Fall 3. nur ein bisschen aufwändiger.
Wenn man damit durch ist, kann man für eine Zerlegung in Transpositionen , sodass man dann Transpositionenweise abarbeiten kann.
Aber die OP hat ja schon.
Mfg Michael
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Hallo, möchte Michaels Beitrag noch ergänzen, sozusagen für "Zykelpraktiker". Es gilt: . Gruß ermanus
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Noch ein Nachtrag zu für beliebige Permutationen: Für die Permutation
schreiben wir abkürzend
.
Wenn wir hierin die Spalten gemäß einer Permutation umordnen, ändert sich nicht, sondern nur seine tabellarische Darstellung, d.h. es gilt
.
Damit ergibt sich
.
Unser Fazit: entsteht aus dadurch, dass man jedes Vorkommen einer "Ziffer" in durch die "Ziffer" ersetzt.
Gruß ermanus
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