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Konjugation in der Sn

Universität / Fachhochschule

Tags: Automorphismus, Permuation

Bella-Bimba aktiv_icon

14:35 Uhr, 24.04.2021

Es sei

n \in ℕ

und

π \in S_{n}

eine Permutation. Zeigen Sie, dass der Konjugationsautomorphismus

α_{π} : G \to G, π \mapsto g π g^{- 1}

Zykel auf Zykel abbildet und dabei die Zykellänge erhält, dass heißt, dass für einen Zykel

ψ \in S_{n}

der Länge

l \in {1, ..., n}

auch

α_{π} (ψ)

ein Zykel der Länge

l

ist.

Ein Konjugationsautomorphismus ist ja nichts anderes als ein Gruppenautomorphismus. Dabei muss ich dann doch nur die Verknüpfung zweier Zykel betrachten, oder?

Also

α_{π_{1}, π_{2}} = α_{π_{1}} \circ α_{π_{2}}

?

Wie mache ich das mit der Länge?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:43 Uhr, 24.04.2021

Hallo,
nein du musst zeigen:

π

Zykel

\Rightarrow g π g^{- 1}

ist Zykel
gilt. Ich denke übrigens, dass es nicht

α_{π}

, sodern

α_{g}

heißen sollte; sonst gibt das keinen Sinn.
Schau dir die Originalaufgabe nochmal genau an.
Gruß ermanus

Bella-Bimba aktiv_icon

14:45 Uhr, 24.04.2021

Ne der Automorphismus lautet

α_{π} : G \to G, x \mapsto π x π^{- 1}

michaL aktiv_icon

14:49 Uhr, 24.04.2021

Hallo,

kannst du bitte einen Scan der Orgiginalaufgabenstellung posten (Bitte beachte die Obergrenze von 500 kB, sowie, dass ich weder auf dem Kopf stehende oder um 90° verdrehte Handybilder von deinem Bildschirm lesen möchte. Sicherlich hast du deine Aufgabe in digitaler Form vorliegen [evtl. nur auf einer Homepage], sodass du mit dem von dir genutzten OS nur einen Screenshot machen musst. Kann dein OS das nicht, benutze eines, bei dem das geht.)

Mich macht stutzig, dass bei dir
>

α_{π} : G \to G

π \mapsto g π g^{- 1}

steht statt

α_{π} : G \to G

g \mapsto π g π^{- 1}

Mfg Michael

Bella-Bimba aktiv_icon

15:00 Uhr, 24.04.2021

Hab schon was dazu gefunden. VG

michaL aktiv_icon

15:47 Uhr, 24.04.2021

Hallo,

für alle anderen:

Die Menge der Konjugationsautomorphismen bildet mit der Hintereinanderausführung "

\circ

" eine Gruppe

(Kon (G), \circ, α_{id},)

.
Es gelten

α_{ψ} \circ α_{π} = α_{ψ \circ π}

und

α_{π}^{- 1} = α_{π^{- 1}}

, d.h. die Abbildung

α : {\begin{array}{rcl} G & \to & Kon (G) \\ π & \mapsto & α_{π} \end{array}

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Das ist schon ein ziemlicher Stapel Theorie vorweg, aber nicht schwierig zu leisten.

Wenn man das hat, kann man sich bei den Permutationen

π

zunächst auf die Transpositionen

(x y) \in S_{n}

beschränken und die geforderte Eigenschaft dort beweisen.
Dazu ist vermutlich eine Fallunterscheidung hilfreich: Sei der zu betrachtende Zykel

σ = (x_{1} \dots x_{k}) \in S_{n}

. Dann gibt es, was

σ

anbelangt, 3 Fälle:
1.

x, y \notin {x 1, \dots, x_{k}}

x \notin {x 1, \dots, x_{k}}

, aber

y \in {x 1, \dots, x_{k}}

x, y \in {x 1, \dots, x_{k}}

Für die Fälle 1. und 2. ist

π \circ σ \circ π^{- 1}

ziemlich einfach zu rechnen. Für Fall 3. nur ein bisschen aufwändiger.

Wenn man damit durch ist, kann man für

ρ \in S_{n}

eine Zerlegung in Transpositionen

ρ = τ_{r} \circ \dots \circ τ_{1}

, sodass man

ρ \circ σ \circ ρ^{- 1}

dann Transpositionenweise abarbeiten kann.

Aber die OP hat ja schon.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

16:17 Uhr, 24.04.2021

Hallo,
möchte Michaels Beitrag noch ergänzen, sozusagen für
"Zykelpraktiker". Es gilt:

π (x_{1} x_{2} \dots x_{r}) π^{- 1} = (π (x_{1}) π (x_{2}) \dots π (x_{r}))

.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

10:47 Uhr, 25.04.2021

Noch ein Nachtrag zu

π σ π^{- 1}

für beliebige Permutationen:
Für die Permutation

φ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \dots & n \\ φ (1) & φ (2) & \dots & φ (n) \end{array})

schreiben wir abkürzend

(\begin{array}{c} x \\ φ (x) \end{array})

.

Wenn wir hierin die Spalten gemäß einer Permutation

ρ

umordnen, ändert
sich

φ

nicht, sondern nur seine tabellarische Darstellung, d.h. es gilt

φ = (\begin{array}{c} ρ (x) \\ ρ (φ (x)) \end{array})

.

Damit ergibt sich

π \circ σ \circ π^{- 1} = (\begin{array}{c} x \\ π (x) \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x \\ σ (x) \end{array}) \circ {(\begin{array}{c} x \\ π (x) \end{array})}^{- 1} =

= (\begin{array}{c} σ (x) \\ σ (π (x)) \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x \\ σ (x) \end{array}) \circ (\begin{array}{c} π (x) \\ x \end{array}) = (\begin{array}{c} π (x) \\ σ (π (x)) \end{array})

.

Unser Fazit:

π σ π^{- 1}

entsteht aus

σ

dadurch, dass man jedes Vorkommen einer
"Ziffer"

x

σ

durch die "Ziffer"

π (x)

ersetzt.

Gruß ermanus

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