Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Konjugation in der Sn

Konjugation in der Sn

Universität / Fachhochschule

Tags: Automorphismus, Permuation

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Bella-Bimba

Bella-Bimba aktiv_icon

14:35 Uhr, 24.04.2021

Antworten
Es sei n und πSn eine Permutation. Zeigen Sie, dass der Konjugationsautomorphismus

απ:GG,πgπg-1

Zykel auf Zykel abbildet und dabei die Zykellänge erhält, dass heißt, dass für einen Zykel
ψSn der Länge l{1,...,n} auch απ(ψ) ein Zykel der Länge l ist.


Ein Konjugationsautomorphismus ist ja nichts anderes als ein Gruppenautomorphismus. Dabei muss ich dann doch nur die Verknüpfung zweier Zykel betrachten, oder?

Also απ1,π2=απ1απ2?

Wie mache ich das mit der Länge?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:43 Uhr, 24.04.2021

Antworten
Hallo,
nein du musst zeigen:
π Zykel gπg-1 ist Zykel
gilt. Ich denke übrigens, dass es nicht απ, sodern αg
heißen sollte; sonst gibt das keinen Sinn.
Schau dir die Originalaufgabe nochmal genau an.
Gruß ermanus
Bella-Bimba

Bella-Bimba aktiv_icon

14:45 Uhr, 24.04.2021

Antworten
Ne der Automorphismus lautet

απ:GG,xπxπ-1
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

14:49 Uhr, 24.04.2021

Antworten
Hallo,

kannst du bitte einen Scan der Orgiginalaufgabenstellung posten (Bitte beachte die Obergrenze von 500 kB, sowie, dass ich weder auf dem Kopf stehende oder um 90° verdrehte Handybilder von deinem Bildschirm lesen möchte. Sicherlich hast du deine Aufgabe in digitaler Form vorliegen [evtl. nur auf einer Homepage], sodass du mit dem von dir genutzten OS nur einen Screenshot machen musst. Kann dein OS das nicht, benutze eines, bei dem das geht.)

Mich macht stutzig, dass bei dir
> απ:GG,πgπg-1
steht statt
απ:GG,gπgπ-1

Mfg Michael
Frage beantwortet
Bella-Bimba

Bella-Bimba aktiv_icon

15:00 Uhr, 24.04.2021

Antworten
Hab schon was dazu gefunden. VG
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

15:47 Uhr, 24.04.2021

Antworten
Hallo,

für alle anderen:

Die Menge der Konjugationsautomorphismen bildet mit der Hintereinanderausführung "" eine Gruppe (Kon(G),,αid,).
Es gelten αψαπ=αψπ und απ-1=απ-1, d.h. die Abbildung α:{GKon(G)παπ ist ein Gruppenhomomorphismus.

Das ist schon ein ziemlicher Stapel Theorie vorweg, aber nicht schwierig zu leisten.

Wenn man das hat, kann man sich bei den Permutationen π zunächst auf die Transpositionen (xy)Sn beschränken und die geforderte Eigenschaft dort beweisen.
Dazu ist vermutlich eine Fallunterscheidung hilfreich: Sei der zu betrachtende Zykel σ=(x1xk)Sn. Dann gibt es, was σ anbelangt, 3 Fälle:
1. x,y{x1,,xk}
2. x{x1,,xk}, aber y{x1,,xk}
3. x,y{x1,,xk}

Für die Fälle 1. und 2. ist πσπ-1 ziemlich einfach zu rechnen. Für Fall 3. nur ein bisschen aufwändiger.

Wenn man damit durch ist, kann man für ρSn eine Zerlegung in Transpositionen ρ=τrτ1, sodass man ρσρ-1 dann Transpositionenweise abarbeiten kann.

Aber die OP hat ja schon.

Mfg Michael
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:17 Uhr, 24.04.2021

Antworten
Hallo,
möchte Michaels Beitrag noch ergänzen, sozusagen für
"Zykelpraktiker". Es gilt:
π(x1x2xr)π-1=(π(x1)π(x2)π(xr)).
Gruß ermanus

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:47 Uhr, 25.04.2021

Antworten
Noch ein Nachtrag zu πσπ-1 für beliebige Permutationen:
Für die Permutation

φ=(12nφ(1)φ(2)φ(n))

schreiben wir abkürzend

(xφ(x)).

Wenn wir hierin die Spalten gemäß einer Permutation ρ umordnen, ändert
sich φ nicht, sondern nur seine tabellarische Darstellung, d.h. es gilt

φ=(ρ(x)ρ(φ(x))).

Damit ergibt sich

πσπ-1=(xπ(x))(xσ(x))(xπ(x))-1=

=(σ(x)σ(π(x)))(xσ(x))(π(x)x)=(π(x)σ(π(x))).

Unser Fazit:
πσπ-1 entsteht aus σ dadurch, dass man jedes Vorkommen einer
"Ziffer" x in σ durch die "Ziffer" π(x) ersetzt.

Gruß ermanus