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Konstruktion Folge mit unendl. vielen Häufungspkt?

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Folgen, Häufungspunkt

anonymous

20:35 Uhr, 25.11.2009

Hallo,

wie kann ich die folgende Aufgabe lösen. Ich komme da nicht weiter:

Konstruieren Sie ein Beispiel für eine Folge mit unendlich vielen verschiedenen Häufungspunkten.

Hilfe wär super!

lg

hagman aktiv_icon

20:43 Uhr, 25.11.2009

1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6, . .

.
hat

ℕ

als Häufungspunktmenge

Bekanntlich ist

ℚ

abzählbar,

d . h

. es gibt einen Bijektion

ℕ \to ℚ

. Als Folge aufgefasst hat dies ganz

ℝ

als Häufungspunktmenge.

a_{n} :=

"Dezimalschreibweise von

n

am Komma gespiegelt"

(d . h

z . B

a_{12345} = 0,54321)

hat

[0,1]

als Häufungspunktmenge

a_{n} = sin (n)

hat

[- 1,1]

als Häufungspunktmenge
(Das letzte Beispiel hat vielleicht eine "elegantere" Formel für

a_{n}

als die anderen, dafür ist der Nachweis etwas kniffliger)

anonymous

22:47 Uhr, 26.11.2009

Kann ich die Folge:

1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5, . .

. auch "allgemein" darstellen, also in der Form

{(a_{n})}_{n} =

???

hagman aktiv_icon

23:11 Uhr, 26.11.2009

Nicht ganz dasselbe wäre (aber irgendwo dasselbe Prinzip):
Für

x \in ℝ

definiere die Gaußklammer

[x]

als größte ganze Zahl

\leq x

. Beispiel:

[3,12415926] = 3, [99,99999] = 99, [100] = 100

.
Setze

a_{n} = n - {[\sqrt{n}]}^{2}

Für

k^{2} \leq n < {(k + 1)}^{2}

ist dann

a_{n} = n - k^{2} \in ℕ_{0}

Eine gegebene Zahl

m \in ℕ_{0}

tritt also auf für

n = k^{2} + m

für alle hinreichend großen

k

.
Berechne mal

a_{1}, ..., a_{20}

dieser Folge, nur um ein Gefühl dfür zu kriegen...

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