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Konstruktion eines Körpers mit 4 Elementen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

dummtrottel aktiv_icon

19:38 Uhr, 16.08.2010

In folgendem Link wird die Konstruktion eines Körpers mit 4 Elementen beschrieben:

http://books.google.de/books?id=jwRNXVpAVV8C&pg=PA37&dq=konstruktion+eines+k%C3%B6rpers+mit+vier+elementen&hl=de&ei=gHZpTOi6JoPaOPS8zbkF&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CDMQ6AEwAA#v=onepage&q=konstruktion%20eines%20k%C3%B6rpers%20mit%20vier%20elementen&f=false

Mit großer Mühe kann ich dem Anfang folgen. Aber diese Umformung kann ich nicht nachvollziehen:

a^{2} = a (a + 1) + a

//Was passiert hier?

= 1 + a

//ab da gehts wieder

= a + 1

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

dummtrottel aktiv_icon

19:59 Uhr, 16.08.2010

Ach. Etwa:

a \cdot (a + 1) + a

= a \cdot a + a \cdot 1 + a

= a^{2} + a + a

mit

a + a = 0

= a^{2}

???

Stimmt das? Und wie kommt man denn auf sowas?

[

also im Sinne von: wie fällt einem diese Umformung ein, wenn man sie für die Konstruktion braucht?]

Und außerdem:
Verstehe ich das Schlußfazit richtig, daß ich für p:=Primzahl immer (ganz einfach) einen Körper der Form

ℤ_{p}

bilden kann, für q:=Primzahlpotenz (also hier beispielsweise

4 = 2^{2})

hingegen "nur" (aber immerhin) einen Körper in Form eines Galoisfeldes GF(q), bei dem ich mir dann jedoch wesentlich mehr Gedanken um die Belegung der Elemente machen muß?

hagman aktiv_icon

22:57 Uhr, 16.08.2010

ℤ / p ℤ

ist immer ein Körper und zu jedem

q = p^{k}

gibt es (bis auf Isomorphie) genau einen Körper, der den

ℤ / p ℤ

als kleinsten Unterkörper enthält. Daraus resultiert auch, dass in GF(4) die Gleichung

a + a = 0

gilt.

dummtrottel aktiv_icon

10:41 Uhr, 17.08.2010

Danke, aber jetzt bin ich ehrlich gesagt noch verwirrter als vorher.

War das, was ich geschrieben habe, nun totaler Unsinn, oder kann man es ungefähr so ausdrücken? Ich muß mir (bisher) alle mathematischen Sätze nochmal in normales Deutsch für Dumme übersetzen.

Die Herleitung der Umformung war ja mit der Beschreibung aus dem Text möglich (sofern sie denn stimmt), wenn ich auch ziemlich lange darüber nachgegrübelt habe.

hagman aktiv_icon

13:55 Uhr, 17.08.2010

Nein, was du geschrieben hattest, war eigentlich ganz richtig.
Höchstens, dass es Galoiskörper und nicht Galoisfeld heißt (im Englischen: Galois field)

dummtrottel aktiv_icon

14:26 Uhr, 17.08.2010

Super, dann herzlichen Dank! Ein kleines Erfolgserlebnis :-)

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