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Kontinuierliches Polynom
Universität / Fachhochschule
Tags: Kontinuierliches Polynom, polynom
 
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Hallo, ich möchte Euch mit dem kontinuierlichen Polynom bekannt machen. Das kontinuierliche Polynom ist eine mathematische Struktur der Form . Dabei ist die "Koeffizienten-Kurve" und die kontinuierliche Potenz. Es ist wobei die Summe einem konventionellen Polynom entspricht und ist die "Abrunden"-Funktion. Die Funktion taucht auch in den Influx-Gesetzen auf (siehe www.onlinemathe.de/forum/Influx). Vier Beispiele für kontinuierliche Polynome sind : 1. 2. 3. ist der Nachkomma-Anteil von t. 4. Die Nullstellen kontinuierlicher Polynome : NS von sind und NS von NS von sind mit NS von ist Kennt jemand Anwendungen von den kontinuierlichen Polynomen in der Algebra? Oder findet das Konzept an sich interessant? Gruß Maki |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Oder findet das Konzept an sich interessant?" Du meinst im ästhetischen Sinne? :-) Ja, Integrale sehen schön aus. Aber - in Mathematik erfindet man keine Konzepte einfach so, um dann zu fragen, wofür sie gut sein könnten. Mathematik ist keine Philosophie. :-) Wenn Du keine konkrete Aufgabe hast, wo Dein Konzept hilfreich sein kann, ist es für die Katze. |
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sorry, der Link scheint nicht mit Maus-Klick, sondern nur mit copy & paste zu funktionieren. Ich finde es bemerkenswert, dass ich die Funktion sowohl bei den Influx-Gesetzen wie auch bei der Berechnung des kontinuierlichen Polynoms antreffe. Das könnte doch für einen interessanten Zusammenhang sprechen? |
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An dieser Stelle eine Anmerkung : Es ist und insbesondere (mit ) Gibt das schon eher was her? Gruß Maki |
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"Gibt das schon eher was her?" Nö, überhaupt nicht. Wenn Du viel Zeit hast, mach lieber was Vernünftiges. :-) |
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> Wenn Du viel Zeit hast... Wenn Du damit meinst, dass ich viel Zeit in meine Untersuchungen investiere, hast Du sicherlich Recht. Frage : Hast Du für die Mellin-Transformation auch nur ein müdes Gähnen übrig? Und wie steht es z.B. mit dem AGM (arithmetisch geometrischer Mittelwert)? Fällt der unter die Kategorie "keine Anwendung"? Übrigens : > ...mach lieber was Vernünftiges Das kannst Du doch sicher auch weniger gemein ausdrücken. Schließlich impliziert das, dass ich etwas Unvernünftiges tue mit meinen Erforschungen mathematischer Zusammenhänge. Und ich denke, so krass trifft das keineswegs zu. |
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Es tut mir leid, ich bin lieber gemein aber ehrlich, als politisch korrekt. :-) Ich kann Dir ganz kurz erklären, wie es in der Mathematik läuft (ich mache Mathe seit fast 30 Jahren, also kenne mich schon aus). Wenn Du irgendeinen neuen Konzept einführen willst, hast Du in der Mathematik nur zwei Berechtigungen dafür: 1. Du kannst damit etwas beweisen, was früher unbewiesen war (und dieses etwas muss unabhängig von dem neuen Konzept sein), 2. Du kannst damit einen existierenden Beweis wesentlich vereinfachen. Das ist alles. Einen "interessanten" Zusammenhang entdecken - das reicht vielleicht in der Philosophie. In der Mathematik muss dieser Zusammenhang etwas Konkretes bewirken - siehe zwei Punkte oben. Sonst würde man am laufenden Band neue Konzepte einführen, welche keinen praktischen Nutzen brigen. Also, was hast Du mit Deinen neuen Konzept bewiesen? Und im Übrigen, dieses Forum ist sowieso kein passender Platz für so eine Diskussion. Hier gibt's nicht mal einen Mathematiker, der aktuell aktiv an der Forschung teilnimmt. Da musst Du Dich an andere Adressen wenden, wie z.B. Max-Planck-Institut. Hier vergeudest Du nur Deine Zeit - und zwar auch im Fall, wenn Deine Idee wirklich gut ist, woran ich zwar nicht glaube, aber andererseits ich bin auch keine richtige Instanz, um darüber zu entscheiden. |
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Hallo für AGM und Merlin wurden "erfunden" um konkrete Probleme zu lösen bzw zu vereinfachen. für deine Inful und Kontrolle. Polynome ehe ich keine Anwendung, was das natürlich nicht ausschließt, aber da du sie ja mit einem Ziel "erfunden" hast, solltest du uns zeigen, wo sie Anwendungen in Numerik oder sonst haben. Hast du da Ideen oder Beweise? in welchem Rahmen kommst du auf deine Definitionen, arbeitest du an einer Uni-dann wären Kollegen bessere Ansprechpartner als dieses Forum, oder ist es dein Hobby? Gruß ledum |
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Hallo zusammen! Vorweg: Leider fehlt mir das Hintergrundwissen, um das hier vorgestellte Konzept zu verstehen. Dennoch möchte ich zu dieser Diskussion ein paar Punkte anmerken: 1. Ich lese aus den bisherigen Antworten heraus, dass mathematische Tätigkeiten und Konzepte nur dann eine Berechtigung hätten, wenn sich gewisse Autoritäten oder Institutionen dafür interessieren. Alles andere sei Zeitverschwendung (Übrigens: Konsequenterweise trifft dies dann wohl auch auf jedes Antwortgeben hier im Forum zu...). Nach dieser Sichtweise erscheint mir Mathematik mehr als Karrierevehikel als als Leidenschaft. Das finde ich schade. Ich möchte eine andere Sichtweise entgegenstellen: Ist es nicht toll, wenn sich jemand aus eigenem Antrieb heraus nicht nur mit fertigen Konzepten, sondern auch mit eigenen Konzepten beschäftigt? Ist nicht jede eigeninitiativ ergriffene mathematische Forschung auf gewisse Art eine Sternstunde der Mathematik, auch wenn es ein(e) Grundschüler(in) ist, der/die die Kommutativität der Multiplikation natürlicher Zahlen entdeckt? Ich kann nicht nachvollziehen, warum in diesem Forum keine Ideen geteilt und diskutiert werden sollen. Als Begründung lese ich nur "fehlende Autoritäten/Institutionen hier im Forum" heraus. 2. Selbst wenn man die von mir unter 1. beschriebene "autoritäre/institutionelle Sichtweise" einnimmt: Arbeiten diese Autoritäten/Institutionen wirklich nach dem Motto, dass nur praktischer Nutzen und nicht Ästhetik von Konzepten als Kriterium gilt? Ich glaube, für die meisten Mathematiker (ob sie nun Autoritäten darstellen oder nicht) ist Ästhetik ein zentrales Kriterium, ob ihnen Konzepte und Theorien gefallen oder nicht. "Praktischen Nutzen", so wie ich diesen Begriff verstehe, hat hingegen die wenigste Mathematik. Und wenn sie praktischen Nutzen hat, wird dieser doch häufig erst später entdeckt. Ich meine zu wissen, dass ledum und DrBoogie unter "praktischem Nutzen" etwas anderes verstehen als ich, nämlich einen Begriff innermathematischen Nutzens. Aber für mich (und ich glaube auch für einen Großteil der Autoritäten) hat selbst innermathematischer Nutzen viel mit Ästhetik zu tun. Mal ein Beispiel: Wohl niemand der Diskussionsteilnehmer wird dem algebraischen Begriff des Körpers den innermathematischen Nutzen absprechen. Aber begründet sich dieser wahrgenommene Nutzen wirklich mit vom Körperbegriff unabhängigen Resultaten, die sich mit dem Körperbegriff leichter beweisen lassen als ohne? Oder ist nicht vielmehr der Körperbegriff interessant aufgrund seiner Ästhetik, einen sinnvollen Teil der Eigenschaften rationaler oder reeller Zahlen zusammenzufassen und damit Theorie zu verallgemeinern? Als weiteres Beispiel möchte ich den Gegenstand meiner Diplomarbeit vor wenigen Jahren anführen: Es ging um ein aktuelles Forschungspaper eines Professors, dass eine von ihm eingeführte Variante einer im Rahmen der Modelltheorie gängigen Theorie untersuchte. Er kam zu dem (ästhetisch wohl für die meisten Modelltheoretiker schönen) Resultat, dass auch bei dieser Variante ein offenbar nichttrivialer Satz gilt. Aber einen (innermathematischen) Nutzen dieser Variante der gewöhnlichen Theorie hat er nicht genannt. Sie war einfach für sich genommen Forschungsgegenstand. Trotzdem interessierte sich meine Professorin (die wohl als Autorität durchgehen sollte...) für dieses Konzept des Papers. Fazit: Ich möchte den Fragesteller ermuntern, sich weiterhin mit seinen Konzepten auseinanderzusetzen, wenn es ihm Freude bereitet! :-) Viele Grüße Tobias |
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Es ist alles schön und gut, nur ist die Frage dann, wie willst Du Mathematik vom Quatsch unterscheiden? Ich denke dabei z.B. an unzählige "Beweise" des großen Satz von Fermat, welche von Laien konstruiert wurden, in der Hoffnung, auf diesem Wege Berühmtheit zu erlangen. Eine Zeit lang gab's sogar eine Komission, welche sich damit befassen musste. Arme Menschen, das was ein harter Job. Oder ich kannte persönlich einen Menschen, welcher absolut sicher war, dass er die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen auf wenigen Seiten geschafft hat (der richtige Beweis ist mehrere Tausend Seiten lang). Natürlich war der Beweis nicht korrekt, aber er konnte es nicht verstehen oder einsehen. Leider zieht Mathematik oft Menschen an, welche nicht das Zeug dazu haben. Das ist ähnlich wie das Phänomen der Graphomanie. Ich meine hier jetzt niemanden Konkreten, ich weise nur auf die Gefahr, wenn man den Punkt annimmt "ist doch super, wenn Leute sich für Mathematik interessieren". Ist es super, dass Menschen Bücher schreiben, die niemand lesen will? Ich glaube nicht. Sie haben nur ein Leben, warum vergeuden sie es? Ich bin fest überzeugt, dass jemand nach einer Möglichkeit suchen muss, sich zu verwirklichen, und da ist es wichtig zu erkennen, ob man das Zeug dazu hat oder nicht. Ein anderer Blickwinkel. Wenn man jetzt als Hauptkriterium in der Mathematik das Ästhetische machen würde, hätten wir keine Chance mehr zu unterscheiden, was wirklich gut ist und was nicht. Denn Ästhetik ist sehr subjektiv. Da reicht es nur an Malerei zu denken. "Das schwarze Quadrat" von Malewitch gilt als ein großer Werk. :-O Ästhetik pur und wie kompliziert. :-) Ich schätze das Ästhetische an der Mathematik, aber wenn wir es zum Maßstab machen, wird die Mathematik zu einer Kunstform, nicht mehr. Und sorry, wenn ich den Kunstliebhaber damit beleidige, aber das hat Mathematik nicht verdient. Mathematik ist in erster Linie die Sprache der Wissenschaften, und als solche lebt sie nach anderen Gesetzen als Kunst. "Oder ist nicht vielmehr der Körperbegriff interessant aufgrund seiner Ästhetik, einen sinnvollen Teil der Eigenschaften rationaler oder reeller Zahlen zusammenzufassen und damit Theorie zu verallgemeinern?" Ich empfinde den Körper nicht besonders ästhetisch, muss ich sagen. Nützlich und wichtig, aber schön - ne, keinesfalls. Zumindest den reellen Körper. Aber die -adische Zahlen, die gefallen mir. Das ist halt die Subjektivität. ;-) "Er kam zu dem (ästhetisch wohl für die meisten Modelltheoretiker schönen) Resultat, dass auch bei dieser Variante ein offenbar nichttrivialer Satz gilt. Aber einen (innermathematischen) Nutzen dieser Variante der gewöhnlichen Theorie hat er nicht genannt." Doch, das ist der Nutzen. Dass ein wichtiger Satz bei der Modifikation der Theorie erhalten bleibt, ist eine wichtige Erkenntnis. Da habe ich nichts dagegen. Ich habe etwas gegen Konstruktionen dagegen, welche keine Ergebnisse bringen, die mit schon existierenden Theorien verbunden sind. |
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"Ich kann nicht nachvollziehen, warum in diesem Forum keine Ideen geteilt und diskutiert werden sollen." Das kommt auf das Ziel an. Wenn Du eine Idee hast, mit der Du Millionen verdienen könntest, wie z.B. Facebook-Gründer, würdest sie in irgendeinem Forum mit irgendeinen Leuten, die wenig vom Business verstehen, diskutieren? ;-) Oder wenn Du ein Fussball-Profi bist, wirst Du Gesundheitstipps in einem Forum mit Hobby-Sportlern diskutieren? :-) Sonst diskutieren wir hier ja. Nur halt als Laien, muss man ehrlich sagen. Laien mit Vorwissen, bestenfalls. Von der richtigen mathematischen Forschung sind wir hier alle sehr weit entfernt, das ist nun leider so. |
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Hallo DrBoogie, vielen Dank für deine Meinung! :-) "wie willst Du Mathematik vom Quatsch unterscheiden?" An höhere Mathematik stelle ich gewisse logische Ansprüche, die sicherlich von den von dir genannten Laien-"Beweisen" verletzt wurden. Der Fragesteller dieses Threads scheint hingegen keine logischen Regeln verletzt zu haben, wenn ich euch richtig verstehe. Spätestens die darüber hinausgehende Frage, ob Konzepte auch "sinnvoll" sind, ist subjektiv. Ich kann also kein objektives Kriterium benennen, welche Konzepte sinnvolle Mathematik "sind" und welche nicht. Ich gebe dir also absolut Recht, dass Ästhetik sehr subjektiv ist. Insofern habe ich auch kein Problem damit, dass du den Körperbegriff nicht ästhetisch findest. "Ist es super, dass Menschen Bücher schreiben, die niemand lesen will?" (Es gibt übrigens mathematische Autoritäten, die Spezialgebiete bearbeiten, die kaum jemand kennt. Diese Autoritäten müsstest du dann offenbar sehr kritisch sehen, weil ihre Texte kaum jemand lesen möchte?) Ohne mich mit psychiatrischen Folgen einer krankhaften Graphomanie auszukennen, bin ich spontan geneigt zu sagen: Warum soll man nicht schreiben, wenn es einem Freude bereitet? In der Tat sollte man Schreiben von für andere uninteressante Bücher unterlassen, wenn die einzige Motivation der Bücherverkauf ist. Mathematik ist für mich in erster Linie eine Kunstform. Der Beweis der Fermatschen Vermutung hat für mich z.B. wenig mit "Sprache der Wissenschaften" zu tun. "Dass ein wichtiger Satz bei der Modifikation der Theorie erhalten bleibt, ist eine wichtige Erkenntnis. Da habe ich nichts dagegen. Ich habe etwas gegen Konstruktionen dagegen, welche keine Ergebnisse bringen, die mit schon existierenden Theorien verbunden sind. " Was du hier benennst, ist für mich ein ästhetisches Kriterium, kein Kriterium praktischen Nutzens (wie du es im Beitrag von 02.10.2017 10:28Uhr (deine dortigen Punkte 1. und 2.) verlangst). "Oder wenn Du ein Fussball-Profi bist, wirst Du Gesundheitstipps in einem Forum mit Hobby-Sportlern diskutieren? :-)" Nein. Als Nicht-Fußball-Profi möglicherweise hingegen schon. Wenn ich euch richtig richtig verstehe, ist der Fragesteller aus eurer Sicht doch mathematisch derzeit gerade nicht haushoch allen Leuten hier im Forum überlegen. Von daher kann es aus meiner Sicht schon Sinn machen, eine Idee mit Leuten hier im Forum zu diskutieren. "Von der richtigen mathematischen Forschung sind wir hier alle sehr weit entfernt, das ist nun leider so." Bei deiner Vorstellung von "richtiger" mathematischer Forschung gebe ich dir Recht. Bei meiner Vorstellung von "richtiger" mathematischer Forschung hingegen ist auch die Untersuchung, ob die Multiplikation natürlicher Zahlen kommutativ ist, schon richtige mathematische Forschung! Glücklicherweise muss man ja nicht alles im Leben, was man mit Freude tut, auf allerhöchstem Niveau praktizieren. Viele Grüße Tobias |
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"Glücklicherweise muss man ja nicht alles im Leben, was man mit Freude tut, auf allerhöchstem Niveau praktizieren." Nicht alles. Aber Mathe! Ich habe andere Einstellung. Vielleicht weil ich relativ lange ein "beruflicher" Mathematiker war, also jemand, der Artikel in wissenschaftlichen Zeitschriften publiziert. Und vielleicht weil ich sehr wenig mit Kunst anfangen kann. Aber ich habe generell hohe Ansprüche an mich und an andere. Und ich kenne nur einen Grund zur Freude - gut in irgendetwas zu sein. Etwas "einfach so" zu machen - das kann ich nicht verstehen. |
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@tobit Vielen lieben Dank für Deine aufmunternden Worte. > Ich kann Dir ganz kurz erklären, wie es in der Mathematik läuft Ich möchte auch mal sagen, wie es bei mir läuft : Wenn ich etwas sehe, das noch nicht definiert ist, bekomme ich Lust, eine sinnvolle Definition vorzunehmen. Als Beispiel für diese Herangehensweise möchte ich eine Arbeit meines Kollegen Markus Müller anführen, der im Jahre 1997 die sogenannte Reihen-Algebra entdeckt hat. Dabei geht es - grob umrissen - darum, dass er basierend auf Addition, Multiplikation und Potenzierung Hyper- Rechenarten definiert, die sich in eine Reihe einer niedrigeren Rechenart entwickeln lassen. Eine Anwendung dafür ist mir aber nicht bekannt. Oder was man damit beweisen kann, oder was man damit vereinfachen kann weiß ich auch nicht. Aber immerhin hat er damit den Jugend forscht - Preis Mathematik gewonnen. Zu der Diskussion Mathe / Kunst / Ästhetik möchte ich mich nicht äußern. Sondern ich möchte einfach Spaß an der Mathematik haben (was manche nicht nachvollziehen können : Spaß an Mathe : Hä, wie bitte?). Und ich möchte meine Ideen gerne mit anderen Mathematikern austauschen. An der Uni bin ich nicht mehr. Von daher scheidet ein Austausch mit Kommilitonen aus. Gruß Maki |
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"Eine Anwendung dafür ist mir aber nicht bekannt." Was nicht heißt, dass es keine Anwendung existiert. Im Google findet man schnell, dass angeblich Anwendungen in der Chaos-Theorie existieren. Ich kann es nicht schnell nachprüfen, aber es scheint plausibel. Außerdem reiht sich das, was Herr Müller gemacht hat, in ein größeres Forschungsfeld, s. z.B. en.wikipedia.org/wiki/Hyperoperation Also ist es nicht einfach "schönes Konzept ohne Anwendungen". |
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"Wenn ich etwas sehe, das noch nicht definiert ist, bekomme ich Lust, eine sinnvolle Definition vorzunehmen." Hm. Wie soll man "sinnvoll" definieren? Für mich erscheinen Deine Influxe und Polynome überhaupt nicht sinnvoll, sondern komplett aus dem Finger gesaugt, sorry. "Und ich möchte meine Ideen gerne mit anderen Mathematikern austauschen." Und genau dafür ist dieses Forum komplett ungeeignet. Hier geht es darum, Studenten (fast ausschließlich aus den niedrigen Semestern) bei Standardaufgaben zu helfen. Wenn man das Forum liest, sieht man, dass wenn eine etwas kompliziertere Aufgabe kommt, sie fast immer ohne Lösung bleibt, weil hier einfach keinen Mathematiker gibt, der sich auf dem "gehobenen" Niveau auskennt. Da ist schon Matroid Matheplanet matheplanet.com besser, aber auch dort findest Du wenige Profis. Und über den Sinn der Definitionen mit Hobby-Mathematikern zu streiten, das ist dasselbe, wie über den Design vom neien Formel 1 - Auto mit Leuten zu diskutieren, welche gerade schaffen, Reifenwechsel durchzuführen. |
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Hallo Maki76, nachdem ich nun entdeckt habe, dass die Begriffe "Koeffizienten-Kurve" und "kontinuierliche Potenz" keine vorausgesetzten Fachbegriffe, sondern Teil deines Konzepts sind, meine ich nun die Grundidee doch verstanden zu haben. Ich habe jedoch weder den Bereich "Influx" studiert, noch deine Integrale nachgerechnet. Mir erscheint deine Forschungsfragestellung, die der Idee der kontinuierlichen Polynome zugrunde liegt, die Suche nach "sinnvollen" Varianten des gewöhnlichen Polynomfunktions-Begriffes zu sein. Diese noch sehr vage formulierte Aufgabenstellung erscheint mir durchaus spannend, so dass auch ich mich ein wenig mit ihr auseinandergesetzt habe. Mein erster Versuch, einen zu deinem Konzept passenden Begriff vergleichbar zum gewöhnlichen algebraischen Polynomring über in einer Variable zu schaffen, ist bisher gescheitert. Danach habe erst einmal den Versuch beiseite gelegt, algebraische Eigenschaften "hinüberzuretten" und mich stattdessen auf Polynomfunktionen statt Polynome (im Polynomring) selbst konzentriert. Dabei erscheint mir ein allgemeinerer maßtheoretischer Ansatz sinnvoller: Er beinhaltet als Spezialfälle gewöhnliche reelle Polynomfunktionen und deine kontinuierlichen Polynomfunktionen ebenso wie reelle Potenzreihen und Laurentreihen, allerdings mit zwei Einschränkungen: 1. Da wir auch mit nicht ganzzahligen Exponenten hantieren, müssen wir uns mit "verallgemeinerten Polynomfunktionen" mit Definitionsbereich statt ganz begnügen. 2. Wir müssen uns mit nichtnegativen reellen Koeffizienten der begnügen. Diese Einschränkung lässt sich möglicherweise durch die Verwendung signierter Maße anstelle von Maßen aufheben. Aber mit Integralen bezüglich signierter Maße kenne ich mich leider derzeit nicht aus. Hier nun mein Vorschlag: Definition: Sei ein Maß auf , wobei die Borelsche Sigma-Algebra auf bezeichne. Dann definieren wir die zugehörige "verallgemeinerte Polynomfunktion" durch . Eine verallgemeinerte Polynomfunktion ist eine Funktion der Gestalt für ein Maß auf . Beispiele: 1. Sei für gewisse und , wobei das Dirac-Maß im Punkte bezeichne. Dann ist für alle . 2. Sei messbar. Bezeichne das Maß auf mit -Dichte , wobei das Lebesgue-Maß bezeichne. Dann ist für alle . Beispiel 1. zeigt also, wie gewöhnliche Polynomfunktionen und Beispiel 2., wie sich kontinuierliche Polynomfunktionen in deinem Sinne im Wesentlichen als Spezialfälle "meines" Konzepts einer "verallgemeinerten Polynomfunktion" darstellen lassen. Naja, vom Hocker reißt mich "mein" Konzept auch noch nicht, auch wenn ich es für eine Weiterentwicklung deiner Idee halte. Interessant wird es wohl frühestens dann, wenn man Fragen untersucht, wie z.B.: - Wie sieht die Klasse der verallgemeinerten Polynomfunktionen aus? (Sind es gar alle monoton steigenden Funktionen ?) - Ist das Maß mit durch eindeutig bestimmt für jede verallgemeinerte Polynomfunktion ? Viele Grüße Tobias |
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Nochmal hallo Maki76, einen weiteren Punkt möchte ich noch ansprechen: Du solltest bei der Präsentation eines Konzeptes unbedingt angeben, welcher Art die beteiligten Objekte sein sollen. Also etwa: Sei . Sei . Die Abbildung c habe die Eigenschaft ... [Eigenschaft, die die Riemann-Integrierbarkeit des später betrachteten Integrals sicherstellt]. Dann definieren wir eine Funktion durch ... [Der Definitionsbereich ist so zu wählen, dass Wohldefiniertheit vorliegt: Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten existieren nur für positive Basen, Riemann-Integrale nur im Falle von Riemann-Integrierbarkeit.] Ich glaube, der Grund, dass ich das Konzept der kontinuierlichen Polynome zunächst nicht verstanden hatte und das Konzept Influx bis jetzt nicht verstanden habe, liegt auch in der verbesserungsbedürftigen Darstellung der Konzepte. Viele Grüße Tobias |
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Ich muss leider gestehen, dass ich Deinen maßtheoretischen Ansatz nicht so recht verstehe. Maßtheorie hatten wir an der Uni nicht. Lässt sich das Integral (z.B.: für , nicht auch auf ganz fortsetzen? Oder kommt da nur Quatsch bei raus? Mit der Präsentation der Konzepte hast Du Recht. Ich werde in Zukunft darauf achten. Gruß Maki |
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Ohne Maßtheorie-Hintergrund ist meine Darstellung natürlich nicht verständlich. Ignoriere diesen Teil also einfach. "Lässt sich das Integral [...] nicht auch auf ganz ℂ fortsetzen?" IRGENDWIE lässt sich jede Funktion natürlich auf vielerlei Arten zu einer Funktion fortsetzen, z.B. indem man einfach für alle setzt. Aber das ist wohl kaum das, was du willst. Du möchtest offenbar gegeben und eine "sinnvolle" Funktion definieren. Dazu musst du also irgendwie erklären, welche Funktion du betrachten möchtest. Nur die Funktionswerte P(x) für nichtnegative anzugeben, reicht natürlich nicht. Wenn du für beliebiges gerne setzen möchtest, müsstest du zunächst erklären, was für beliebiges bedeuten soll. Ich kenne im Falle eines beliebigen nur für mit (bzw. auch für im Falle ). (Weiter offen bleibt, wie du in diesem allgemeinen Setting die Riemann-Integrierbarkeit des Integranden sicherstellen möchtest.) |
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ist auch für komplexe definiert, über Logarithmus: . Sie ist aber mehrwertig, wenn man sie als "normale" Funktion ansieht. Oder man geht dann in die Riemannsche Fläche. Kurze Einführung dazu: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~wegert/Lehre/FkthSpez/Clips/Section2/Clip-2-5-5.pdf Übrigens, wenn man Mathematik betreiben will, auch als Hobby, und insbesondere sich für die Zusammenhänge innerhalb Mathematik interessiert, so ist die Aussage "ich kenne Maßtheorie nicht, wir hatten sie nicht an der Uni" ein Armutszeugnis für mich, es tut mir leid. Welche Zusammenhänge will man entdecken, wenn einem das Basiswissen fehlt? Und Maßtheorie ist Basiswissen, nichts Anderes. Das ist schon eine komische Uni, wo Maßtheorie nicht unterrichtet wird. |
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Zum Thema : Wenn man für alle (!) und alle einen eindeutigen (!) Wert definieren möchte und dabei setzen möchte, muss vorher für alle (!) ein eindeutiger (!) Wert festgelegt sein. Ich kann mich täuschen, aber nach meiner dunklen Erinnerung an die Funktionentheorie ist eine solche eindeutige Festlegung nicht üblich. Meinetwegen können wir für die Zwecke dieses Threads eine solche Festlegung treffen. Ich bezweifle jedoch, dass das Konzept der kontinuierlichen Polynome durch eine solche wohl ziemlich willkürliche Festlegung sinnvoller wird. Zum Thema Maßtheorie: Hätte ich nicht Stochastik als Anwendungsfach gehabt, hätte ich in meinem Studium leider auch nie mit Maßtheorie zu tun gehabt. Im Übrigen sehe ich es natürlich NICHT so, dass man ohne Maßtheorie-Kenntnisse gleich ganz Abstand von der Mathematik nehmen sollte. |
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"Ich kann mich täuschen, aber nach meiner dunklen Erinnerung an die Funktionentheorie ist eine solche eindeutige Festlegung nicht üblich." Üblich ist in die Riemannsche Fläche zu gehen, das ist der natürliche Platz für solche Funktionen. "Hätte ich nicht Stochastik als Anwendungsfach gehabt, hätte ich in meinem Studium leider auch nie mit Maßtheorie zu tun gehabt." Wie habt Ihr denn das Lebesgue-Integrall eingeführt? :-O |
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"Wie habt Ihr denn das Lebesgue-Integrall eingeführt? :-O" Außerhalb der Stochastik gar nicht. (Meine Analysis III-Vorlesung richtete sich leider nach Forster: Analysis III. Die dortige Herangehensweise an mehrdimensionale Integration ohne Maßtheorie halte ich für sehr unästhetisch. Schade, denn die Bücher Analysis I und Analysis II von Forster gefallen mir besser.) |
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@Dr.Boogie Lass es mich so formulieren : Ich hatte Informatik im Hauptfach auf Diplom und Mathe im Nebenfach. Und zu diesem Studiengang gehört Maßtheorie als eigene Vorlesung nicht dazu. Was natürlich nicht heisst, dass es eine solche Vorlesung an der Uni nicht gibt. Immerhin habe ich Analysis I II, Lineare Algebra I II, Stochastik, Diskrete Mathematik und Numerik gehört. Kann sein, dass wir in Stochastik die Maßtheorie kurz angeschnitten haben. Ist schon sehr lange her. Und ich hatte seit meinem Studium nichts mehr mit Stochastik zu tun. |
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Ja, ich fand's schon immer überraschend, wie lasch das Mathe-Studium in Deutschland ist. Zum Vergleich: ich hatte in meiner Zeit in Moskau: Analysis 1-4, Algebra, Lineare Algebra, Funktionentheorie, Analytische Geometrie, Differentialgeometrie, Differentialgleichungen - gewöhnliche und partielle, Topologie, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Stochastische Prozesse, Funktionalanalysis, Optimierung und Variationsrechnung, Theoretische Mechanik und das alles als PFLICHT! UPDATE. Logik und Diskrete Mathematik habe ich vergessen - sie waren auch Pflicht. Dazu kamen dann diverse Kursen nach Wahl. :-) Zurück zum Thema. Das Problem mit dem Erfinden eines Rades ist, dass dies normalerweise schon längst geschehen ist. Das heißt - auf einem elementaren Nievau etwas Neues und Sinnvolles in Mathematik zu erfinden ist praktisch unmöglich. Was konkret die "kontinuierlichen Polynome" angeht, so lässt sich offensichtlich jede stetige Funktion als so ein Polynom darstellen. Also bringen sie nichts Neues. |
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"Was konkret die "kontinuierlichen Polynome" angeht, so lässt sich offensichtlich jede stetige Funktion als so ein Polynom darstellen." Das halte ich für den vielleicht wichtigsten Satz des gesamten bisherigen Threads!!! Wenn ich dich richtig verstehe, existiert also zu jeder stetigen Funktion eine natürliche Zahl und eine Funktion , so dass für jedes die Funktion Riemann-integrierbar ist und gilt? Das soll "offensichtlich" sein? Wenn du dies tatsächlich beweisen kannst, gebe ich dir Recht, dass die "kontinuierlichen Polynomfunktionen" nichts Neues liefern, sondern mit der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. |
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Ne, doch nicht offensichtlich. Ich dachte, dass hier Weierstrass ausreicht, aber dem ist wohl nicht so. Trotzdem bin ich sicher, dass jede stetige Funktion sich so darstellen lässt, einfach Bauchgefühl. Vielleicht lohnt es sich, einen Spezialisten für Analysis zu fragen, ich glaube nicht, dass diese Fragestellung neu ist, sie ist zu auffallend. Wäre etwas blöd, wenn wir über längst bekannte Tatsachen hier diskutieren würden. |
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Leider ist auch mir ein voreiliger Schluss unterlaufen, und zwar in meinem Fall bei der (vermeintlich?) einfachen Richtung: Ich war davon ausgegangen, dass alle "kontinuierlichen Polynomfunktionen" stetig seien. Solange wir die Abbildung c jedoch nicht als stetig voraussetzen, habe ich doch noch kein Argument, dass die zugehörige Polynomfunktion stetig ist. |
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ist immer stetig, der Beweis ist einfach: sei beliebig, dann existiert ein , so dass für alle - weil gleichmäßig stetig auf einem endlichen Intervall ist. Dann haben wir für alle . Wenn Riemann-integrierbar ist, so auch Betrag davon, damit ist eine (endliche) Zahl und ist per Definition stetig. |
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Ich glaube, die Antwort ist schon in der sogenannten potential theory gegeben, nur bin ich zu faul da zu suchen. Da untersucht man gerade die Darstellung von stetigen Funktionen durch Integrale bzgl. verschiedener "kernels". Z.b. habe ich dieses alte Artikel gefunden: projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.afm/1485893427 Gerade die Skandinavier waren auf dem Gebiet sehr produktiv. |
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Danke. Am Beginn ziehst du eine Schlussfolgerung aus der Gleichmäßigen Stetigkeit von " auf einem endlichen Intervall". Hier meinst du eine Funktion in zwei Variablen x und t sowie ein zweidimensionales Intervall, oder? |
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Ja, ich habe es schlecht formuliert, man braucht natürlich gleichmäßige Stetigkeit in zwei Variablen. |
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Gut, danke! :-) |
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Hier eine kurze Übersicht von konventionellen Polynomen mit Koeffizienten, die auf kurze Darstellungen führen : Und hier noch zwei Exemplare aus der Kategorie "Dinge, die kein Mensch braucht". Polynome, die die gleichen Koeffizienten wie Nullstellen haben : I) hat die Nullstellen II) hat die Nullstellen (Und da gibt es für den zweiten und dritten Grad tatsächlich keine weiteren Lösungen) |
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Danke für die angeregte Diskussion. Ich hake dann mal ab. |
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