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Kontitionszahl berechnet Matrix

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Kajuhahu aktiv_icon

13:08 Uhr, 10.02.2016

Hallo, ich habe folgende Aufgabe versucht zu lösen:
Also gegeben war mir die Matrix

M = [2, 0; 0, - 3]

Nun sollte die Konditionszahl bestimmt werden.
Also die Formel hierfür ist doch

\frac{| | M | |}{| | M^{- 1} | |}

?
Die Determinante von

M

wäre

- 6

Das heißt die Inverse Matrix

M^{- 1}

ist

[\frac{1}{2} 0; 0 - \frac{1}{3}]

| | M | |

wäre ja dann die Wurzel aus

(2^{2} + 0^{2} + 0^{2} + {(- 3)}^{2})

?
Das selbe dann bei

| | M^{- 1} | |

und dann die beiden Ergebnisse dividieren und so hätte ich meine Konditionszahl?
Leider stimmt mein Ergebnis nicht mit Matlab überein
Vielen Dank für Antworten
MFG

Bummerang

13:16 Uhr, 10.02.2016

Hallo,

"Also die Formel hierfür ist doch

\frac{| | M | |}{| | M^{- 1} | |}

?"

Wenn ich nach der Konditionszahl suche, finde ich

| | M | | | | M^{- 1} | |,

was ich als

| | M | | \cdot | | M^{- 1} | |

interpretiere!

Kajuhahu aktiv_icon

13:19 Uhr, 10.02.2016

Habe im Internet beide Formeln gefunden.
Welche der beiden jetzt stimmt weiß ich nicht.
Habe bei meiner Rechnung beide ausprobiert und komme einmal auf die Konditionszahl 6 und einmal auf

2,03

.
Matlab gibt mir als Ergebnis bei cond(A)

1,5

aus.
Ich komme leider nicht auf das Ergebnis

Bummerang

13:22 Uhr, 10.02.2016

Hallo,

die Konditionszahl ist immer in Bezug auf die verwendete Norm zu sehen! Welche Norm verwendet denn Matlab? Ich denke, dass es die Betragsmaximum-Norm ist, denn die ergibt

3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5

Kajuhahu aktiv_icon

13:25 Uhr, 10.02.2016

Das kann man bei Matlab eingeben wie man möchte, welche Norm verwendet werden soll.
Nur wenn ich die Matrix gegeben habe, und ich die Konditionszahl ohne PC berechnen soll, dann muss ich doch eigentlich so vorgehen wie ich es gemacht hab oder?

Bummerang

13:28 Uhr, 10.02.2016

Hallo,

"Nur wenn ich die Matrix gegeben habe, und ich die Konditionszahl ohne PC berechnen soll, dann muss ich doch eigentlich so vorgehen wie ich es gemacht hab oder?"

Wenn Du damit die Division einschließt, dann lautet die Antwort: "Nein!" Denn es ist eine Multiplikation. Wenn Du die Konditionszahl einer Matrix

M

händisch berechnen sollst, dann musst Du

M^{- 1}

ermitteln und dann mit der VORGEGEBENEN Norm

| | M | |

und

| | M^{- 1} | |

berechnen und diese dann miteinander multiplizieren!

Kajuhahu aktiv_icon

13:33 Uhr, 10.02.2016

OK, dann multiplizier ich die beiden Normen soweit ist das klar.
Danke dafür schonmal.
Problem ist nur, dass bei der Aufgabe keine Norm vorgegeben ist. Da steht diese Matrix ist gegeben, bestimmen sie die Konditionszahl der Matrix.

| | M | |

habe ich als

\sqrt{13}

ausgerechnet.
und

| | M^{- 1} | |

habe ich als

\frac{\sqrt{13}}{6}

berechnet
ist das soweit richtig? oder habe ich die Normierung nach dem Prinzip

\sqrt{a 11^{2} + a 12^{2} + a 21^{2} + a 22^{2}}

falsch berechnet?

Bummerang

15:33 Uhr, 10.02.2016

Hallo,

gemäß

\sqrt{\sum_{i, j \in {1,2}} a_{i j}^{2}}

sind die Normen richtig berechnet. Wenn bei der Aufgabe nicht steht, welche Norm gemeint ist, so muss im Verlauf des Buches oder der Vorlesung zuvor eine Festlegung getroffen worden sein, welche Norm mit

| | . .

| |

gemeint ist, wenn es keine explizite Benennung der Norm gibt. Vielleicht habt ihr auch die unterschiedlichen Normen unterschiedlich "abgekürzt", so dass

| | . .

| |

für eine bestimmte Norm steht und

z . B

| | . .

| |_{\infty}

für die Zeilensummennorm. Jedenfalls musst Du die zu benutzende Norm herausfinden, denn unterschiedliche Normen führen zu unterschiedlichen Konditionszahlen.

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