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Kontrahierende Funktionen // Fixpunkt

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Stetigkeit

Jennifer87 aktiv_icon

17:32 Uhr, 05.11.2014

Hi, Ich habe folgendes Problem:

Ich soll zeigen das folgende Funktion kontrahierend ist:

f : [0, \infty) \to [0, \infty), f (x) = \frac{x + \frac{1}{2}}{x + 1}

Nun soll ich :

a)

zeigen dass

f

kontrahierend ist.

b)

Fixpunkt berechnen

c)

a-Priori fehlerabschätzung für

x_{5}

bei gegebenen

x_{0} = 100

also meine Ideen:

zu

a :

ich müsste zeigen dass

| f (x) - f (y) | \leq λ \cdot | x - y |

mit

0 < λ < 1

für alle

x \neq y

gilt oder??? aber wie bestimme ich so ein passendes

λ

b : x

ist FP wenn gilt

x = f (x)

also:

x = \frac{x + \frac{1}{2}}{x + 1} \Rightarrow x^{2} + x = x + \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}

passt das??

und ja die abschätzung würde ich laut Wikipedia mit

d (x_{n}, F P) = \frac{λ^{n}}{1 - λ} d (x_{0}, x_{1})

stimmt das??? aber ich bräuchte ja das

λ

aus

a) ...

.

hoffe ihr könnt mir helfen

lg Jenni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

17:39 Uhr, 05.11.2014

Hallo,

das technische Standardhilfsmittel ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Der liefert, dass

λ = \subset | f' (x) |

(supremum über den Definitionsbereich).

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

17:44 Uhr, 05.11.2014

Hallo,

eine andere Standardmethode wäre, mit dem Term

f (x) - f (y)

konkret anzufangen und soweit zu vereinfachen, wie geht. Dann abschätzen, dann fertig.

λ = \frac{1}{2}

wäre möglich.

Mfg Michael

predator12 aktiv_icon

17:57 Uhr, 05.07.2018

sry, wenn ich diesen thread ausbuddle, aber mich hat es derzeit nach der suche nach einigen aufgaben für kontrahierende Fkt hierher verschlagen.

meine berechnungen ergeben wie im bild, dass diese fkt nicht kontrahierend ist, da scheinbar

| x - y |

bei mir null wird, wenn ich die höchsten zahlen des definitionsbereiches einsetze.

hier das bild in gedrehter version

ibb.co/mzBgUy

ermanus aktiv_icon

18:21 Uhr, 05.07.2018

Hallo,
habe gerade michaL's Weg probiert. Funktioniert klasse und ist überhaupt nicht aufwendig!
Gruß ermanus

predator12 aktiv_icon

18:25 Uhr, 05.07.2018

hi, ich habe in meiner rechnung praktisch nichts anderes gemacht außer mit betragsstrichen...

kannst du mir erläutern, warum der ausdruck

\frac{1}{2} \cdot

nullfolge nicht null wird und somit

\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot | x - y |

nicht null wird?

ermanus aktiv_icon

18:29 Uhr, 05.07.2018

Wieso lässt du denn

x

oder

y

gegen unendlich laufen? Das gibt doch gar keinen Sinn :(

predator12 aktiv_icon

18:32 Uhr, 05.07.2018

gegen was sollte ich es sonst laufen lassen?

hatten in der uni gelernt, dass wir in den maximal annehmbaren wert aus dem def bereich einsetzen und der ist hier eben mit unendlich gegeben

ermanus aktiv_icon

18:40 Uhr, 05.07.2018

Sehr seltsam, was ihr da gelernt habt.
Man lässt weder

x

noch

y

gegen irgendwas laufen ...
Man will doch zeigen, dass es eine Zahl

λ

gibt, so dass

∣ f (x) - f (y) ∣ \leq λ ∣ x - y ∣

ist. Seien also

x

und

y

beliebig
in

[0, \infty)

. Dann bekommst du

∣ f (x) - f (y) ∣ \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (y + 1)} ∣ x - y ∣ .

Wegen

x, y \geq 0

ist

\frac{1}{(x + 1) (y + 1)} \leq 1

, also

∣ f (x) - f (y) ∣ \leq \frac{1}{2} ∣ x - y ∣

.
Also ist

λ = \frac{1}{2}

eine geeignete Zahl.
Das hat doch mit Unendlichkeits- oder Limes- oder Supremum-Betrachtungen
nichts zu tun ...

predator12 aktiv_icon

19:00 Uhr, 05.07.2018

also ich erinnere mich, dass wir da sowas tatsächlich gemacht haben, da war allerdings der def bereich

[0,1]

egal..

nichtsdestotrotz steht bei mir nach genau der gleichen umformung folgendes da:

|1/2*1/(xy+x+y+1)|

\cdot | x - y |

so jetzt sehe ich ja, dadurch dass D:=

[

0,unendlich] vorgegeben ist, dass der bruch mit größer werdenden werten kleiner wird...

sagen wir mal, wir sehen davon ab, dass es immer kleiner wird. dennoch muss doch die multiplikation irgendwie passieren?

ich verstehe nicht, wie du von der zeile darauf kommst, dass

| f (x) - f (y) | = < | \frac{1}{2} \cdot | x - y |

ist.

ist dieser Term hier (|1/2*1/(xy+x+y+1)|

\cdot | x - y |

) übrigens meine linke oder rechte seite meiner zu zeigenden Definition von kontrahierenden Fkt.

?

eigentlich würde ich sagen, es ist die linke seite, da wir ja

f (x)

und

f (y)

eingesetzt haben wieso kommen wir plötzlich zur rechten seite?

(definition kontrahierend:

| f (x) - f (y) | = < q \cdot | x - y |)

ermanus aktiv_icon

19:55 Uhr, 05.07.2018

Ich verstehe dein Problem leider überhaupt nicht :(
Wegen

x, y \geq 0

ist

x y + x + y + 1 \geq 1

, folglich

∣ \frac{1}{x y + x + y + 1} ∣ \leq 1

.
Daraus ergibt sich

∣ f (x) - f (y) ∣ = \frac{1}{2} \cdot ∣ \frac{1}{x y + x + y + 1} ∣ \cdot ∣ x - y ∣ \leq \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot ∣ x - y ∣ = \frac{1}{2} ∣ x - y ∣

.
Woist denn da etwas unklar ?

predator12 aktiv_icon

21:47 Uhr, 05.07.2018

das leuchtet jetzt ein, danke

ist es grundsätzlich das ziel die definition der kontrahierenden fkt solange umzuformen, dass ein

q

gefunden wird?
in diesem fall müsste

q = \frac{1}{2} \cdot

1/(xy*+x+y+1) sein, wenn ich micht nicht täusche.
anschließend folgt eine abschätzung mit

1,

weil

q

immer kleiner als 1 sein soll.

predator12 aktiv_icon

21:47 Uhr, 05.07.2018

das leuchtet jetzt ein, danke

ist es grundsätzlich das ziel die definition der kontrahierenden fkt solange umzuformen, dass ein

q

gefunden wird?
in diesem fall müsste

q = \frac{1}{2} \cdot

1/(xy*+x+y+1) sein, wenn ich micht nicht täusche, oder ist es nur die

\frac{1}{2}

?

anschließend folgt eine abschätzung mit

1,

weil

q

immer kleiner als 1 sein soll.

ermanus aktiv_icon

22:12 Uhr, 05.07.2018

Solch ein

q

muss unabhängig von

x

und

y

sein; denn es soll ja für alle Paare

x, y

gelten.

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