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Kontrahierende lineare Abbildungen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

 
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j3llY

j3llY aktiv_icon

12:28 Uhr, 12.02.2021

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Hallo Leute, ich weiß bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.
Ich habe es jetzt schon mit ein paar Freunden versucht, aber wir kommen alle nicht weiter und haben eine Blockade, ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!! :-)

Es sei V≠{0} ein Vektorraum über einem Körper K.
Eine lineare Abbildung p:VV heißt stark kontrahierend, wenn es eine natürliche Zahl n (also n≥1) gibt mit pn=0.
Dabei ist pn=ppp..p(n mal) und die rechte Seite die Nullabbildung.
Das heißt, für alle vEV gilt pn(v)=0.

1. Zeige: Ist p stark kontrahierend, dann ist p nicht invertierbar.

2. Sei p stark kontrahierend und vEV ein Vektor mit v≠0 und p(v)≠0.
Zeige, dass dann: Kern(p)∩Bild(p)≠0 gilt.

3. Es sei V=R2. Geben Sie eine stark kontrahierende lineare Abbildung an, die nicht die
Nullabbildung ist. So eine Abbildung wird also von einer 2x2 Matrix dargestellt.

4. Es sei V=R2. Geben Sie eine lineare Abbildung an, die weder stark kontrahierend noch
invertierbar ist.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:43 Uhr, 12.02.2021

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Ihr Dozent ist ein Idiot. Denn die linear Abbildung p mit der Eigenschaft pn=0 heißt nilpotent und nicht "stark kontrahierend".
Das ist "stark kontrahierend": de.wikiversity.org/wiki/Metrische_R%C3%A4ume/Abbildung/Stark_kontrahierend/Definition

"1.Zeige: Ist p stark kontrahierend, dann ist p nicht invertierbar."

Wenn p invertierbar wäre, könnte man pn=0 mit (p-1)n multiplizieren und würde I=0 bekommen (I ist die identische Abbildung). Das geht natürlich nicht, also kann p nicht invertierbar sein.

"2. Sei p stark kontrahierend und vEV ein Vektor mit v≠0 und p(v)≠0.
Zeige, dass dann: Kern(p)∩Bild(p)≠0 gilt."

Wir haben v0. Wegen pn=0 gilt auch pnv=0. Betrachten v,pv,pv,..,pnv=0. Es gibt ein maximales k<n, so fass pkv0. Dann liegt pkv in Bild p und wegen p(pk(v))=pk+1v=0 liegt pkv auch im Kern von p. Damit Kern(p)Bild(p)0.

"3. Es sei V=R2. Geben Sie eine stark kontrahierende lineare Abbildung an, die nicht die
Nullabbildung ist. So eine Abbildung wird also von einer 2x2 Matrix dargestellt."

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"4. Es sei V=R2. Geben Sie eine lineare Abbildung an, die weder stark kontrahierend noch
invertierbar ist."

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Frage beantwortet
j3llY

j3llY aktiv_icon

18:42 Uhr, 12.02.2021

Antworten
Okay, vielen lieben Dank für die Richtigstellung!
Und für die ausführliche Lösung+Erklärung! :-)