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Kontrahierende lineare Abbildungen
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra
 
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Hallo Leute, ich weiß bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Ich habe es jetzt schon mit ein paar Freunden versucht, aber wir kommen alle nicht weiter und haben eine Blockade, ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!! :-) Es sei V≠0} ein Vektorraum über einem Körper K. Eine lineare Abbildung heißt stark kontrahierend, wenn es eine natürliche Zahl (also n≥1) gibt mit . Dabei ist mal) und die rechte Seite die Nullabbildung. Das heißt, für alle vEV gilt . 1. Zeige: Ist stark kontrahierend, dann ist nicht invertierbar. 2. Sei stark kontrahierend und vEV ein Vektor mit v≠0 und p(v)≠0. Zeige, dass dann: Kern(p)∩Bild(p)≠0 gilt. 3. Es sei . Geben Sie eine stark kontrahierende lineare Abbildung an, die nicht die Nullabbildung ist. So eine Abbildung wird also von einer Matrix dargestellt. 4. Es sei . Geben Sie eine lineare Abbildung an, die weder stark kontrahierend noch invertierbar ist. Vielen Dank im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Ihr Dozent ist ein Idiot. Denn die linear Abbildung mit der Eigenschaft heißt nilpotent und nicht "stark kontrahierend". Das ist "stark kontrahierend": de.wikiversity.org/wiki/Metrische_R%C3%A4ume/Abbildung/Stark_kontrahierend/Definition "1.Zeige: Ist p stark kontrahierend, dann ist p nicht invertierbar." Wenn invertierbar wäre, könnte man mit multiplizieren und würde bekommen ( ist die identische Abbildung). Das geht natürlich nicht, also kann nicht invertierbar sein. "2. Sei p stark kontrahierend und vEV ein Vektor mit v≠0 und p(v)≠0. Zeige, dass dann: Kern(p)∩Bild(p)≠0 gilt." Wir haben . Wegen gilt auch . Betrachten . Es gibt ein maximales , so fass . Dann liegt in Bild und wegen liegt auch im Kern von . Damit . "3. Es sei V=R2. Geben Sie eine stark kontrahierende lineare Abbildung an, die nicht die Nullabbildung ist. So eine Abbildung wird also von einer 2x2 Matrix dargestellt." 0 1 0 0 "4. Es sei V=R2. Geben Sie eine lineare Abbildung an, die weder stark kontrahierend noch invertierbar ist." 1 0 0 0 |
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Okay, vielen lieben Dank für die Richtigstellung! Und für die ausführliche Lösung+Erklärung! :-) |
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