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Kontraktion, Lipschitz-Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrixabbildung

anonymous

14:46 Uhr, 15.12.2020

Hallo,
ich würde gerne zeigen, dass die Abbildung g(x) = A(x), wobei A eine 2x2 MAtrix ist und wie folgt aussieht A = [[0.5,1],[0,0.25]], nicht kontrahierend bezüglich der ||.||1 Norm ist.

Ich bin mir nicht sicher, wie ich das zeigen könnte?

Einfach nur reines ausprobieren?
D.h. ich überlege mir einfach irgendein x und y e R² bei gegebenen q mit 0 < q < 1, sodass+

[[g(x) - g(y) ||1 nicht kleiner gleich q||x-y||1 gilt?

Oder sollte man besser anders vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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15:03 Uhr, 15.12.2020

Du musst nicht mal selbst rechnen: www.wolframalpha.com/input/?i=max+%28%7C1%2F2x%2By%7C%2B%7C1%2F4y%7C%29%2F%28%7Cx%7C%2B%7Cy%7C%29
Wegen Linearität reicht es einen Vektor

z \in ℝ^{2} \ {0}

mit

{| | A z | |}_{1} \geq {| | z | |}_{1}

zu finden.

anonymous

15:25 Uhr, 15.12.2020

Danke für deine Antwort,
aber was hat das genau mit der Linearität zutun?
Also ich habe mir überlegt, dass folgendes gilt:
||A(x) - A(y)||1 = ||A(x-y)||1 < (wegen der Veträglichkeit der induzierten Matrixnorm zur Vektornorm) ||A||*||x-y||
und ab hier weiß ich nicht genau wie ich weiter machen soll
Erst dachte ich, dass wenn||A|| bereits >0 und <1 wäre, dann müsste ich tatsächlich nur noch irgendein Vektor (x-y) finden, sodass ||(x-y)||1 < ||A(x-y)||gilt.

Aber ||A||1 ist ja 1,25..

anonymous

15:40 Uhr, 15.12.2020

und jetzt suche ich mir einfach irgendeinen Vektor z mit z:= x-y aus R² für den eben ||z||1 < ||A*z||1 und bin fertig oder?

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15:42 Uhr, 15.12.2020

Wegen

A x - A y = A (x - y)

sind die Ungleichungen

{| | A x - A y | |}_{1} \leq L {| | x - y | |}_{1}

und

{| | A z | |}_{1} \leq L {| | z | |}_{1}

äquivalent. Und ja, du suchst nun einen vektor

z \in ℝ^{2} \ {0}

mit

{| | z | |}_{1} \leq {| | A z | |}_{1}

und bist dann fertig.

anonymous

15:59 Uhr, 15.12.2020

Okay, aber jetzt noch einmal eine Frage grundsätzlich zur Kontraktion:

eine Abbildung g(x), hier A(x) ist ja Lipschitz stetig, falls
||A(x)-A(y)||1 kleiner gleich q * ||x-y||1 gilt, wobei 0 < q<1.

Wenn ich jetzt zeigen möchte, dass die Abbildung A(x) aber eben nicht Lipschitz stetig bzw. nicht kontrahierend ist, kann ich mir q dann ganz bel. wählen z.B. also 0,5 und dann irgendeinen Vektor ||(x-y)|| suchen für den die Ungleichheit nicht erfüllt würde?

Ich denke, dass das nicht ganz richtig ist oder?
Also ich glaube, dass man q nicht bel. wählen kann..

In meiner Aufgabe weiß ich jedoch, dass ||A(x)-A(y)|| = ||A(x-y)|| <= ||A|| * ||(x-y)||
Nur leider ist mein ||A|| > 1, sodass dies nicht die FUnktion von q übernehmen könnte.
Das müsste dann ||z|| erfüllen.. mit z = x-y.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe...

Shipwater aktiv_icon

16:28 Uhr, 15.12.2020

q = 0.5

wählen geht nicht, weil die Ungleichung dann ja trotzdem mit zum Beispiel

q = 0.7

gelten könnte. Du musst also wirklich ein

z \in ℝ^{2} \ {0}

mit

{| | A z | |}_{1} \geq {| | z | |}_{1}

finden. Mit anderen Worten: Du musst

{| | A | |}_{1} \geq 1

zeigen. Dafür kannst du die Spaltensummennorm natürlich auch einfach direkt berechnen.

pwmeyer aktiv_icon

17:16 Uhr, 15.12.2020

Hallo,

da, wie schon die Vorredner gesagt haben, bekannt und bewiesen ist, dass die zughörige Matrizen-Norm zpwmur ||.||_1-Norm die Spaltensummen-Norm ist, reicht die Info

{| | A | |}_{1} = 1.25

aus, um zu wissen, dass keine Kontraktion vorliegt.

Wenn Du ganz sicher gehen willst, schau mal auf

x = {(0,1)}^{T}

und Ax.

Gruß

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