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Kontraktion im Intervall zeigen

Universität / Fachhochschule

Tags: Intervall, Kontraktion

Whasabi aktiv_icon

08:30 Uhr, 23.11.2015

Ich habe eine Funktion

f (x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{2}

Aufgabe: Zeigen Sie, dass

f

im Intervall

[1,2],

eine Kontraktion ist.

Wir haben das Beispiel mit einem Tutor gerechnet aber mir ist nicht alles klar.

als erstes haben wir die Funktion abgeleitet

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2}

und nun hat sie gemeint, wir müssen zeigen, dass die Ableitung zwischen

- 1

und 1 liegt weil

K

ist

max 1

das habe ich nicht verstanden? Wie kommt man auf diese Werte? Sind diese immer

- 1 & 1

?

dann haben wir also

- 1 \leq - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \leq 1

formen es um bis wir folgendes haben:

\frac{3}{2} \geq \frac{1}{x^{2}} \geq - \frac{1}{2}

der hintere Teil stimmt, da

\frac{1}{x^{2}}

immer positiv ist und so größergleich

- \frac{1}{2}

ist

beim vorderen Teil haben wir den Kehrwert gebildet

\frac{2}{3} \leq x^{2}

0,8 \leq x

und dann hat es geheißen das ist auch richtig - warum?

und es kommt raus

K = 1

wie komme ich nun auf

K = 1

?

Danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

DrBoogie aktiv_icon

09:28 Uhr, 23.11.2015

Ich denke, dass Du da Einiges falsch verstanden/abgeschrieben hast.
Oder aber Euer Tutor ist nicht ganz fit.
Denn es geht viel einfacher:

f^{'} (x)

ist im Intervall

[1, 2]

monoton steigend, denn je größer

x

, desto kleiner

\frac{1}{x^{2}}

und desto größer

- \frac{1}{x^{2}}

. (Wenn das nicht klar ist, kannst Du auch die Ableitung von

f^{'} (x)

berechnen und zeigen, dass sie immer

> 0

ist, daraus folgt ebenfalls die Monotonie).
Damit gilt natürlich

- \frac{1}{2} = f^{'} (1) \leq f^{'} (x) \leq f^{'} (2) = \frac{1}{4}

.
Also, auf jeden Fall gilt

∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{1}{2}

für alle

x

aus

[1, 2]

.
Also,

f

ist Kontraktion auf

[1, 2]

, folgt aus dem Mittelwertsatz.

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