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Integration

Tags: Funktion, Integration, Kontraktion, Lipschitz, Metrik, Norm

 
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Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

12:48 Uhr, 26.03.2020

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Hallo zusammen

Meine Aufgabe lautet wie folgt: Es sei 0<ρ<1, sei u0 und sei X=(C0([-ρ,ρ]),||.||00) der Raum der stetigen, reelwertigen Funktionen auf [-ρ,ρ] mit der Supremumsnorm und der entsprechenden induzierten Metrik.
Ich soll zeigen, dass die Funktion

F(u)(x)=0xu(t)dt+u0
für alle uX,x[-ρ,ρ]
eine Kontraktion ist. Da kriege ich gleich mein erstes Problem: Für eine Kontraktion habe ich auf der rechten Seite die Distanz der Funktionsargumente stehen. Für Funktionen in einer Variablen ist das klar, ich verstehe aber gerade nicht so ganz, was die Distanz zweiter Tupel sein soll.
Wenn mir jemand das kurz erklären könnte, wäre ich sehr dankbar.
Mfg Baumstamm

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

12:54 Uhr, 26.03.2020

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Hallo
du hast doch kein Tupel, sondern nur x als Variable, u ist ein Parameter, d.h. es muss für alle u aus dem Definitionsgebiet gelten.
Gruß ledum
Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

13:06 Uhr, 26.03.2020

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Hallo ledum
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe gerade gesehen, dass ich komplett vergessen habe zu schreiben, dass die Aufgabe auch sagt:
T:XX
Tut mir leid.
Wenn also T eine Abbildung zwischen stetigen Funktionen ist, müsste doch u die Variable und x der Parameter sein. Dann stellt sich aber wieder die Frage, was ist die Distanz zwischen 2 Funktionen ?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

16:12 Uhr, 26.03.2020

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Der Abstand in X ist doch durch die Spuprenunmsnorm gegeben?
ledum
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:58 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Hallo,
was soll denn T sein, ist damit F gemeint?
Gruß ermanus
Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

18:13 Uhr, 26.03.2020

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Hallo ermanus
Du hast natürlich damit, dass F und nicht T gemeint war. Ich habe da ein Durcheinander gemacht da im Skript immer von T die Rede ist und in der Aufgabe aber F verwendet wird.

Jetzt hat es geklappt und ich konnte zeigen, dass F eine Kontraktion ist. Nun soll ich auch noch den Fixpunkt explizit angeben. Das bedeutet meines Wissens nach, die Gleichung x=F(x)(u) nach x aufzulösen. Da hier aber das x eine Integrationsgrenze ist, weiss ich nicht so recht was ich da genau tun soll. Ich wäre daher um einen Tipp sehr dankbar
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:16 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Ich meine, du sollst die Funktion uX finden, für
die F(u)=u gilt.