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Kontraposition Beweis

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david1119 aktiv_icon

21:22 Uhr, 13.01.2022

Wie genau beweise ich das

a^{2}

gerade

\to {(a + 1)}^{2}

ungerade ist mithilfe von Kontraposition?

Ich müsste ja zeigen das

{(a + 1)}^{2}

gerade

\to a^{2}

ungerade ist

Wie genau gehe ich den nun vor weil ich auch schon im Internet geschaut habe das man a gerade

\to a^{2}

gerade beweisen kann. Hier ist aber das

{(a + 1)}^{2}

das mich verwirrt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

21:32 Uhr, 13.01.2022

Hallo,

Kontraposition bedeutet, dass man statt

A \Rightarrow B

die Aussage

\neg B \Rightarrow \neg A

beweist.

OT: Man braucht hier eigentlich keine indirekte Methode, da man aus

a^{2}

gerade/ungerade auch direkt

(a + 1)^{2}

ungerade/gerade zeigen kann.

Abgesehen davon ist die Kontraposition (abgesehen von den zwei Aspekten "

\pm 1

" und gerade<->ungerade) nahezu identisch, woraus folgt, dass der Beweis "

a^{2}

gerade

\Rightarrow (a + 1)^{2}

ungerade" leicht in einen "

(a + 1)^{2}

gerade

\Rightarrow a^{2}

ungerade" umgewandelt werden kann.

Egal: Sei also

(a + 1)^{2}

NICHT ungerade, d.h. gerade. Es gebe also ein

v \in ℤ

mit

2 v = (a + 1)^{2} = a^{2} + 2 a + 1 \overset{}{\Leftrightarrow} 2 (v - a) = a^{2} + 1

.
Demnach ist

a^{2} + 1

gerade. Dann ist

a^{2}

ungerade. (Sonst wäre die Differenz 1 auch gerade, was es aber nicht ist.)

Mfg Michael

david1119 aktiv_icon

22:04 Uhr, 13.01.2022

Hallo,
vielen Dank für die Antwort aber was/wie kommst du auf

2 (v - a)

Du hast ja

{(a + 1)}^{2}

als gerade dargestellt also mit

2 v

und dann einfach das Binom aufgelöst.
Wie kommst du von da aus auf die Aussage das

a^{2}

ungerade ist.

michaL aktiv_icon

22:16 Uhr, 13.01.2022

Hallo,

ok, die langsamste Version:

Sei

(a + 1)^{2}

gerade, d.h. durch 2 teilbar,
d.h. es ex.

v \in ℤ

mit

2 v = (a + 1)^{2}

. (1)

2 v = (a + 1)^{2} = a^{2} + 2 a + 1

(2)

2 v = a^{2} + 2 a + 1 \overset{}{\Leftrightarrow} 2 v - 2 a = a^{2} + 1

(3)

2 (v - a) = a^{2} + 1

(4)

Also ist

a^{2} + 1

gerade. (5)

Dann ist

a^{2}

ungerade. Denn: Wäre auch

a^{2}

gerade, d.h. es gäbe

w \in ℤ

mit

a^{2} = 2 w

, dann gälte

1 = a^{2} + 1 - a^{2} = 2 (v - a) - 2 w = 2 (v - a - w)

, d.h. 1 wäre gerade, was es aber nicht ist. (

2 \cdot 0 = 0 < 1

2 \cdot 1 = 2 > 1

, also gibt es kein

z \in ℤ

mit

2 z = 1

)

Nun kannst du die Fragen mit Nummern referenzieren, wenn noch welche sind!

Mfg Michael

david1119 aktiv_icon

22:59 Uhr, 13.01.2022

Vielen Dank
ich sehs ein.

Du hast einfach nur umgestellt und dann die 2 ausgeklammert. Dadurch hast du die Form

2 v

was ja als gerade gilt.

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