Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Konvergente Reihe ist eine Nullfolge, Beweis

Konvergente Reihe ist eine Nullfolge, Beweis

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

uLtRa1 aktiv_icon

18:09 Uhr, 19.06.2012

Tag zusammen,

Aufgabenstellung:

Sei

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

eine konvergente Reihe in

ℝ

. (Das heißt, die durch

s_{n} := \sum_{i = 1}^{n} a_{i}

gegebene Partialsummenfolge ist konvergent.) Man zeige: die Folge

(a_{n})

ist eine Nullfolge, das heißt

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

Wie kann man sowas beweisen? Woher weiß man denn, dass die Folge eine Nullfolge ist, da steht ja nur ein

a_{n}

???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

18:46 Uhr, 19.06.2012

Tipp:

a_{n} = s_{n} - s_{n - 1}

uLtRa1 aktiv_icon

22:57 Uhr, 19.06.2012

Also

a_{n} = s_{n} - s_{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i}

???

Shipwater aktiv_icon

23:04 Uhr, 19.06.2012

Nö einfach nur

a_{n} = s_{n} - s_{n - 1}

reicht vollkommen aus, da du weißt, dass

s_{n}

konvergiert. Warum folgt daraus, dass

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

uLtRa1 aktiv_icon

23:10 Uhr, 19.06.2012

Ich versteh irgendwie nicht, warum die Folge als Grenzwert die Null besitzt. Es ist ja nur vorgegeben, dass sie konvergiert, aber sie könnte doch genau so gut gegen

\infty

konvergieren, oder nicht?

Shipwater aktiv_icon

23:17 Uhr, 19.06.2012

Eine Folge kann doch nicht gegen

\infty

konvergieren! Falls

lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty

gilt, so sagt man, dass die Folge (bestimmt) divergiert. Solch eine Folge ist jedenfalls nicht konvergent. Und du darfst

a_{n}

und

s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}

nicht verwechseln. Du weißt, dass

s_{n}

konvergiert und sollst daraus ableiten, dass

a_{n}

eine Nullfolge ist. Mit dem Tipp

a_{n} = s_{n} - s_{n - 1}

ist das eigentlich auch ein Einzeiler. Nur möchte ich nicht mehr verraten, da dann schon die ganze Lösung dasteht. Also überlege dir nun warum aus

a_{n} = s_{n} - s_{n - 1}

und der Tatsache, dass

s_{n}

konvergent ist,

a_{n} \to 0 (n \to \infty)

folgt.

uLtRa1 aktiv_icon

23:22 Uhr, 19.06.2012

Weil die Partialsummen immer kleiner werden?

Shipwater aktiv_icon

23:29 Uhr, 19.06.2012

Wie kommst du darauf und wie soll dir diese Aussage weiterhelfen? Es gilt

a_{n} = s_{n} - s_{n - 1}

also auch

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} (s_{n} - s_{n - 1})

So jetzt aber solltest du drauf kommen.

hagman aktiv_icon

23:30 Uhr, 19.06.2012

Nein, das werden sie im Allgemeinen nicht.
Wenn beispielsweise

a_{n} = \frac{1}{n^{2}},

dann lauten die Partialsummen

s_{1} = 1, s_{2} = \frac{5}{4}, s_{3} = \frac{49}{36}, . .

.
werden also immer größer.
Man kann zeigen, dass

s_{n}

konvergiert, und zwar bemrekenswerterweise gegen

\frac{π^{2}}{6}

.
An diesem Beispiel sieht man unmittelbar, dass die Folge der

a_{n}

Nullfolge ist, also

\frac{1}{n^{2}} \to 0

.
Diese Folge ist etwas ganz anderes als die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

.
Nur, warum muss es immer so sein, dass aus der Konvergenz der Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

folgt, dass die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine Nullfolge ist?

uLtRa1 aktiv_icon

23:47 Uhr, 19.06.2012

Ich habe anscheinend ein Verständnisproblem.
Ist die Begründung denn vllt., dass die Summe der Partialsummen sich Null nähern (ach was wie schlau wa :-D) )

uLtRa1 aktiv_icon

23:56 Uhr, 19.06.2012

Nein jetzt mal ehrlich:
hagman, du hast da jetzt einmal

\frac{π^{2}}{6}

und einmal

\frac{1}{n^{2}} \to 0

ich versteh das nicht ganz...

hagman aktiv_icon

23:56 Uhr, 19.06.2012

Die Summen der Partialsummen?
Das wäre ja so etwas wie

s_{1} + s_{2} + s_{3} + . .

. !

Mach dir wirklich erst einmal klar, worum es in der Aufgabe genau geht.
Gegeben ist eine Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

Hierzu konstruieren wir die Folge

{(s_{n})}_{n \in ℕ},

wobei

s_{n} := \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

.
Gegeben ist die Tatsache, dass

{(s_{n})}_{n \in ℕ}

eine konvergente Folge ist.
Zu zeigen ist, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine Nullfolge ist.

anonymous

23:58 Uhr, 19.06.2012

Vlt. trägt dieser Link zum besseren Verständnis bei.
http//www.mathepedia.de/Reihen_und_Nullfolgen.aspx

Und sn ist keine Folge sondern eine Reihe.

uLtRa1 aktiv_icon

00:15 Uhr, 20.06.2012

Vielen Dank euch erstmal allen, aber ich denke es ist ein wenig zu spät für mich, daher versteh ich das wohl nicht (was für ne Ausrede :-D) ).
Werde mir das morgen nochmal ganz in Ruhe angucken, und mich evtl. nochmal melden.
@hero91: Danke, aber das wäre die Lösung, auf die ich gerne selbst kommen würde :-)
Ich möchte es halt auch gerne verstehen, aber danke trotzdem
Euch allen eine gute Nacht!

Shipwater aktiv_icon

10:50 Uhr, 20.06.2012

"Und sn ist keine Folge sondern eine Reihe"
Bist du dir da sicher? Also ich würde

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

eine ganz gewöhnliche Folge nennen. Aber Namen sind letztlich doch eh nur Schall und Rauch. Jede Reihe ist irgendwo eine ganz übliche Folge und umgekehrt kann man auch jede Folge als Reihe darstellen, nicht?
Nun gut der Thread hier dürfte nun sowieso erledigt sein, da sich im Link ja Beweise zur Aussage finden.

uLtRa1 aktiv_icon

13:39 Uhr, 21.06.2012

Hey Shipwater,

also