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Konvergenz
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen
 
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Es sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge und a ∈ R. Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent dazu, dass (an)n∈N gegen a konvergiert? ∀ ε ∃ ∈ ∀ ≥ |an − 1/ε . ∃ ∀ ε ∃ ∈ ∀ ≥ |an − cε. ∀ ε ∃ ∃ ∈ ∀ ≥ |an − cε. ∀ ε ∀ ∈ ∀ ≥ |an − ε. Ich denk mal, dass ich das umformen soll, aber ich weiß nicht genau wie ich das allgemein beweisen soll. Ich bin soweit gekommen, dass ich 1/ε=ε^-1=ε´ Soll ich bei einfach schreiben: Nach dem Satz von Archimedes Eudoxos gibt es für jedes ε>0 ein N∈N mit ε. Dann gilt für alle n≥N auch |1/n-0|<ε ? Wie wäre es bei den anderen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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"Soll ich bei a) einfach schreiben: Nach dem Satz von Archimedes Eudoxos gibt es" Ne, ist eine Schnapsidee. Du musst auf die Standardform kommen: : gilt . Wenn du Z.B. : gilt hast, dann kann man setzen und hat : gilt . Aber wenn alle Zahlen durchläuft, macht dasselbe, daher ist was oben steht gleichbedeutend mit : gilt . Und das ist was wir wollten, nur mit statt , was aber egal ist, ist nur eine Bezeichnung |
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b) geht sehr ähnlich zu a) In c) muss die Folge nicht konvergieren, setze dazu Die Bedingung in d) bedeutet, dass einfach konstant sein muss. Also eine viel zu starke Bedingung. |
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Danke |
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Ist jedoch und nicht das gleiche? Ist ja dann bei beiden wie Sie gesagt haben dann und als Gegenbeispiel an=2n/n wo dann 2 der Grenzwert wäre somit auch über 1. Bei ist ja nur ∀ ∈ anderst, wie kann ich sehen, dass es dann konstant sein muss? |
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"Ist jedoch b und c nicht das gleiche?" Nein, überhaupt nicht. Es ist sehr wichtig, wo steht. In einem Fall kannst du es in Abhängigkeit von wählen. In anderem nicht, weil es schon vor gewählt ist und damit fix. "Bei d) ist ja nur ∀ N ∈ N anderst, wie kann ich sehen, dass es dann konstant sein muss?" Weil es folgt, dass für alle und alle gilt . Wenn es ein mit geben würde, könnte man wählen und es wäre , was ein Widerspruch wäre. Also muss für alle sein, damit für alle . |
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Vielen Dank! |
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