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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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lakaska

lakaska aktiv_icon

05:15 Uhr, 05.11.2020

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Es sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge und a ∈ R. Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent dazu, dass (an)n∈N gegen a konvergiert?

(a) ∀ ε >0NNnN: |an − a|< 1/ε .

(b)c>0 ∀ ε >0NNnN: |an − a|< cε.

(c) ∀ ε >0c>0NNnN: |an − a|< cε.

(d) ∀ ε >0NNnN: |an − a|< ε.


Ich denk mal, dass ich das umformen soll, aber ich weiß nicht genau wie ich das allgemein beweisen soll.


Ich bin soweit gekommen, dass ich 1/ε=ε^-1=ε´
Soll ich bei a) einfach schreiben: Nach dem Satz von Archimedes Eudoxos gibt es für jedes ε>0 ein N∈N mit 1N< ε. Dann gilt für alle n≥N auch |1/n-0|<ε ?

Wie wäre es bei den anderen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:40 Uhr, 05.11.2020

Antworten
"Soll ich bei a) einfach schreiben: Nach dem Satz von Archimedes Eudoxos gibt es"

Ne, ist eine Schnapsidee.

Du musst auf die Standardform kommen: ε>0N: n>N gilt an-a<ε.

Wenn du Z.B. ε>0N: n>N gilt an-a<1/ε hast, dann kann man setzen ε1=1/ε und hat
ε>0N: n>N gilt an-a<ε1.
Aber wenn ε alle Zahlen >0 durchläuft, macht ε1 dasselbe, daher ist was oben steht gleichbedeutend mit
ε1>0N: n>N gilt an-a<ε1.
Und das ist was wir wollten, nur mit ε1 statt ε, was aber egal ist, ist nur eine Bezeichnung
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:42 Uhr, 05.11.2020

Antworten
b) geht sehr ähnlich zu a)

In c) muss die Folge nicht konvergieren, setze dazu c=1/ε

Die Bedingung in d) bedeutet, dass an einfach konstant sein muss. Also eine viel zu starke Bedingung.
Frage beantwortet
lakaska

lakaska aktiv_icon

11:53 Uhr, 05.11.2020

Antworten
Danke !!
lakaska

lakaska aktiv_icon

12:15 Uhr, 05.11.2020

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Ist jedoch b und c nicht das gleiche? Ist ja dann bei beiden wie Sie gesagt haben dann <1 und als Gegenbeispiel an=2n/n wo dann 2 der Grenzwert wäre somit auch über 1.

Bei d) ist ja nur ∀ NN anderst, wie kann ich sehen, dass es dann konstant sein muss?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:52 Uhr, 05.11.2020

Antworten
"Ist jedoch b und c nicht das gleiche?"

Nein, überhaupt nicht. Es ist sehr wichtig, wo c steht.
In einem Fall kannst du es in Abhängigkeit von ε wählen. In anderem nicht, weil es schon vor ε gewählt ist und damit fix.

"Bei d) ist ja nur ∀ N ∈ N anderst, wie kann ich sehen, dass es dann konstant sein muss?"

Weil es folgt, dass für alle ε>0 und alle n gilt an-a<ε.
Wenn es ein n0 mit an0-a>0 geben würde, könnte man ε=0.5an0-a wählen und es wäre an0-a>ε, was ein Widerspruch wäre. Also muss an-a=0 für alle n sein, damit an=a für alle n.
Frage beantwortet
lakaska

lakaska aktiv_icon

13:43 Uhr, 05.11.2020

Antworten
Vielen Dank!