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Konvergenz Grenzwert

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

 
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JonSchnee

JonSchnee aktiv_icon

00:55 Uhr, 24.05.2020

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Heyho :-)

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls ihren Grenzwert:

an=ann!, wobei a

Ich habe keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll

an=ann!=an1n!

mit n6=aaaaaa654321

Danke für jeden Tipp und jede Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Bummerang

Bummerang

05:01 Uhr, 24.05.2020

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Hallo,

zunächst betrachte ich die Folge mal für a=0. Dann ist an=1n! und konvergiert gegen Null, was bekannt sein sollte. Jetzt betrachte ich a<0 und teile die Folge in zwei Teilfolgen vollständig auf, indem ich die Teilfolgen mit ungeradem n und geradem n betrachte. Dann gilt für alle Folgenglieder der Teilfolfe mit ungeradem n, dass diese negativ, also kleiner als Null sind. Analog gilt für alle Folgenglieder der anderen Teilfolge, dass diese positiv, also größer als Null sind. Soll die gegebene Folge Konvergenz sein, so konvertieren aber alle Teilfolgen gegen den selben Grenzwert, den Grenzwert der Folge selbst. Als Grenzwerte der "ungeraden Teilfolge" kommt, wenn überhaupt Konvergenz vorliegt, nur ein negativer Wert oder Null in Frage. Analog kommt als Grenzwert der "geraden Teilfolge" nur ein positiver Wert oder Null in Frage. Die gegeben Folge kann, wenn überhaupt, nur gegen einen Wert konvertieren, gegen den beide Teilfolgen konvergieren können und das ist die Null. Wenn die gegenen Folge konvergiert, dann gegen Null. Jetzt noch der Vollständigkeit halber die Betrachtung von a>0. Auch hier zerlege ich in die selben Teilfolgen. Dabei stelle ich fest, dass die "gerade Teilfolge" für betragsmäßig gleiche a unabhängig vom Vorzeichen identisch ist. Damit konvergiert, falls Konvergenz vorliegt, diese Teilfolge gegen den selben Wert Null, wie die Teilfolge beim negativen a. Bei der "ungeraden Teilfolge" fällt auf, dass die Werte betragsmäßig gleich sind, aber positiv sind. Da die Teilfolge für negative a gegen Null konvergiert, falls überhaupt Konvergenz vorliegt, konvergiert für positive a diese Teilfolge ebenfalls gegen Null. Also konvergiert die gegeben Folge auch für positive a gegen Null, wenn überhaupt Konvergenz vorliegt.

Dass Kinvergenz vorliegt, kann man anhand der Konvergenzdefinition zeigen, wenn man den Grenzwert kennt. Wir haben eben gezeigt, dass, wenn Konvergenz vorliegt, dann ist der Grenzwert Null, also zeigen wir jetzt, dass Null der Grenzwert ist. Damit hat man einerseits den Grenzwert ermittelt und andererseits die Konvergenz bewiesen.

Sei epilog in beliebig mit epilog >0 gewählt. Dann sei a¯:=[e|a|] als größte ganze Zahl mittels Gaußscher Klammer definiert. Das "e" ist die Eulersche Zahl. Hier wäre auch jede andere reelle Zahl größer als 1 möglich, aber da wir hier Potenzen haben, werden wir irgendwann logarithmieren müssen und dann ist der zugehörige Logarithmus der natürliche Logarithmus und wir können ln als Funktion benutzen, die auch auf dem Taschenrechner verfügbar ist. Dann schauen wir uns mal genügend größe n an, d.h. n ist größer als a¯. Dann ist

|an|=|a|nn!

=|a|a¯12a¯|a|(n-a¯)(a¯+1)n

<|a|a¯111|a|(n-a¯)(a¯+1)(a¯+1)

=|a|a¯|a|(n-a¯)(a¯+1)(n-a¯)

=|a|a¯(|a|a¯+1)(n-a¯)

|a|a¯(1e)(n-a¯)

Wenn an gegen Null konvergiert, dann reicht es zu zeigen, dass das größer |a|a¯(1e)(n-a¯) kleiner als ε ist, da, wie eben gezeigt, |an| kleiner als dieser Term ist:

|a|a¯(1e)(n-a¯)<ε

(1e)(n-a¯)<ε|a|a¯

e(-n+a¯)<ε|a|a¯

-n+a¯<ln(ε|a|a¯)

-n<-a¯+ln(ε|a|a¯)

n>a¯-ln(ε|a|a¯)

Definieren wir uns nun

n0:=[a¯-ln(ε|a|a¯)]

wieder als größte ganze Zahl, so erfüllen alle n>n0 diese Ungleichung und damit ist Null Grenzwert der Folge.

PS: Bleibt nur noch zu zeigen, was sehr einfach ist, dass

|a|a¯+11e

a¯+1|a|e

a¯+1e|a|

a¯e|a|-1

Und gemäß obiger Definition für a¯:

[e|a|]e|a|-1

Und das gilt natürlich immer!
Antwort
anonymous

anonymous

05:36 Uhr, 24.05.2020

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um es kurz zu fassen:
Ich rate dir zum Quotientenkriterium,

PS:
… und zu einem Blick in die Formelsammlung, Stichwort:
Reihenentwicklung der ex -Funktion.
Antwort
supporter

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06:29 Uhr, 24.05.2020

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@11engleich:

Ist hier nicht eine Fallunterscheidung notwendig?
Mit dem Quotientenkriterium lande ich bei an+1.


Frage beantwortet
JonSchnee

JonSchnee aktiv_icon

16:06 Uhr, 26.05.2020

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Danke :-)
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abakus

abakus

18:14 Uhr, 26.05.2020

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@ supporter:
a ist ein (Pfeife auf die Fallunterscheidung!) konstanter (und damit betragsmäßig endlicher) Wert, während n+1 gegen unendlich geht.
Der Bruch geht damit garantiert gegen 0.