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Konvergenz-Radius der Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: berechnen, Konvergenzradius

F2706 aktiv_icon

17:15 Uhr, 25.01.2015

Hallo,

ich habe folgende Aufgaben, bei dene ich Hilfe bräuchte. Habe selber schon Lösungen, aber keine Ahnung, ob das so richtig ist, wie ich es gemacht habe.
Am liebsten wäre es mir, wenn man beim Beantworten der Frage den Lösungsweg suuuuper einfach beschreibt...
Vielen, vielen Dank dafür :-)

1. Gegeben sei Die Potenzreihe

\sum_{k = 0}^{\infty} 8^{k} x^{3 k}

Berechnen Sie den Konvergenz-Radius und das Konvergenzintervall mit Hilfe
-des Quotientenkriteriums
-der geometrischen Reihe
-der Formel zur Berechnung des Konvergenzradius

2. Geben Sie die Formel zur Berechnung des Taylor-Polynoms n-ten Grades,

T_{n} (x),

einer Funktion

f (x)

mit Entwicklungspunkt

x_{0}

an.

3. Berechnen Sie das Taylorpolynom 2-ten Grades,

T_{2} (x),

für f(x)=arcsin(x) mit Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

.

4. Berechnen Sie unter der Potenzreihen-Darstellung von

e^{x}

und

sin (x)

den Grenzwert

lim_{n \to 0} (\frac{e^{x} - 1}{sin (x)})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

19:12 Uhr, 25.01.2015

Hallo,

"Habe selber schon Lösungen"

Schreib sie doch hierhin - vielleicht braucht ja dann nur einer abnicken.

Gruß pwm

F2706 aktiv_icon

16:11 Uhr, 26.01.2015

Meine Antworten sind:

1. Gegeben sei Die Potenzreihe

\sum_{k = 0}^{\infty} 8^{k} x^{3 k}

Berechnen Sie den Konvergenz-Radius und das Konvergenzintervall mit Hilfe
-des Quotientenkriteriums
-der geometrischen Reihe
-der Formel zur Berechnung des Konvergenzradius

| \frac{8^{k + 1} x^{3 (k + 1)}}{8^{k} x^{3 k}} | = | 8 x^{3} |

Konvergenz für

x < 1 \to 1 < 8 x^{3} \to x < \frac{1}{2}

Entwicklungspunkt:

x_{0}

Abstand von Entwicklungspunkt:

x - x_{0} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \to

Konvergenzradius:

r = \frac{1}{2}

Konvergenzintervall:

(x_{0} - r, x_{0} + r) \to (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

Die Grenzen sind miteingeschlossen, da die Konvergenz-Voraussetzung einer geometrischen Reihe lautet:

| q | < 1 \to | q | = x^{3 k}

für

x < \frac{1}{2}

ist

| q | < 1

2. Geben Sie die Formel zur Berechnung des Taylor-Polynoms n-ten Grades,

T_{n} (x),

einer Funktion

f (x)

mit Entwicklungspunkt

x_{0}

an.

T_{n} (x) = f (x_{0}) + \frac{f^{k} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})

3. Berechnen Sie das Taylorpolynom 2-ten Grades,

T_{2} (x),

für f(x)=arcsin(x) mit Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

T_{2} (x) = 0 + \frac{1}{1!} {(x - 0)}^{1} + \frac{0}{2!} (x - 0) = 1 x

4. Berechnen Sie unter der Potenzreihen-Darstellung von

e^{x}

und

sin (x)

den Grenzwert

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{sin (x)}

e^{x} = 1 + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!}

sin (x) = x^{1} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!}}{x^{1} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}} = lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{6} + \frac{x^{5}}{120}} = \frac{7}{5}

So, das war's.
Ich hoffe man kann meinem Lösungsweg folgen.
Bin für jede Hilfe dankbar :-)

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