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Konvergenz Reihe 1/k! richtig?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz, Quotientenkriterium

UchihaMadara aktiv_icon

19:38 Uhr, 07.09.2023

Hi!

Ich will die Konvergenz der Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}!$ zeigen.

Quotientenkriterium:
.. $= \frac{k!}{(k + 1)!} = lim_{k \to \infty} \frac{k}{k + 1} = 0 < 1 \to$ Reihe konvergiert.

Stimmt das so?

VG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

UchihaMadara aktiv_icon

19:41 Uhr, 07.09.2023

Wobei es sich ja um eine Reihe handelt, die muss ja divergieren..

Ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen soll..

michaL aktiv_icon

19:47 Uhr, 07.09.2023

Hallo,

sag mal, besuchst du denn überhaupt die Vorlesungen?

1. $lim_{k \to \infty} \frac{k}{k + 1} = 1$
2. Es gilt $\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{k \cdot (k - 1)}$ für $k \geq 2$ , d.h. die Reihe $\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (k - 1)}$ ist eine konvergente Majorante für $\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k!}$ .
Das eine fehlende Glied spielt für die Konvergenz keine Rolle.

Dass $\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (k - 1)}$ konvergiert, glaube ich, dir schon einmal unter die Nase gerieben zu haben (als es um $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}$ ging).

Mfg Michael

UchihaMadara aktiv_icon

20:07 Uhr, 07.09.2023

Vielen Dank! ;-)

HAL9000

11:03 Uhr, 08.09.2023

Tatsächlich ist $\frac{k!}{(k + 1)!} = \frac{k!}{(k + 1) \cdot k!} = \frac{1}{k + 1}$ statt $\frac{k}{k + 1}$ . Und in einer Gleichungszeile je nach Lust und Laune mal einen Limes $lim_{k \to \infty}$ reinzuschreiben und dann wieder wegzulassen widerspricht der ganzen Bedeutung des Gleichheitszeichens. Also:

$\frac{k!}{(k + 1)!} = \frac{1}{k + 1}$ ist Ok, und $lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k + 1)!} = lim_{k \to \infty} \frac{1}{k + 1}$ auch.

Aber $\frac{k!}{(k + 1)!} \overset{? ? ?}{=} lim_{k \to \infty} \frac{1}{k + 1}$ ist einfach nur Bullshit. Wenn man zu faul zum Schreiben des Limes-Symbols ist, gibt es noch die Notations-Alternative

$\frac{k!}{(k + 1)!} = \frac{1}{k + 1} \to 0$ für $k \to \infty$ .

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