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Konvergenz Reihe in Abh. von x

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz

Jonathan29 aktiv_icon

21:32 Uhr, 08.12.2015

Hallo,

ich soll die Konvergenz von

\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} x^{n})

in Abhängigkeit von

x

untersuchen. Wir haben in den Vorlesungen eigentlich alle Konvergenzkriterien, bis auf das Integralkriterium gehabt. Trotzdem komme ich nicht weiter, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Fall

x = 0 : \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} 0^{n}) = 0 + 0 + ... + 0 = 0 \Rightarrow lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} 0^{n}) = 0

Fall

x = - 1 : \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} {(- 1)}^{n})

konvergiert nach Leibnitz-Kriterium, da

a_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1}

eine streng monoton fallende Folge ist (darf man hier

n = 0

vernachlässigen?).

Fall

x = 1 : \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{n}{n^{2} + 1})

lim_{n \to \infty} | (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) | = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{n + 1}{{(n + 1)}^{2} + 1}}{\frac{n}{n^{2} + 1}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1) \cdot (n^{2} + 1)}{n ({(n + 1)}^{2} + 1)} | = lim_{n \to \infty} | \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n {(n + 1)}^{2} + n} |

= lim_{n \to \infty} | \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n (n^{2} + 2 n + 1) + n} | = lim_{n \to \infty} | \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n^{3} + 2 n^{2} + 2 n} |

= lim_{n \to \infty} \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n^{3} + 2 n^{2} + 2 n} < 1

\Rightarrow

konvergiert nach Quotienten-Kriterium (ergibt das überhaupt Sinn? Muss doch auch leichter gehen)

Weiter komme ich nicht. Bitte um Hilfe.

Liebe Grüße, Jonathan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:58 Uhr, 08.12.2015

Hast Du schon den Konvergenzradius berechnet?
Ist übrigens

x

reell oder komplex?

Jonathan29 aktiv_icon

21:59 Uhr, 08.12.2015

Hallo DrBoogie,

x

ist reell. Konvergenzradius müsste ich noch mal eben nachschlagen.

Liebe Grüße, Jonathan

DrBoogie aktiv_icon

22:09 Uhr, 08.12.2015

Das ist eine Potenzreihe, die Konvergenz von so einer Reihe untersucht man, indem man den Konvergenzradius berechnet. Dazu gibt's zwei Formeln, in diesem Fall ist besser die Formel mit dem Quotienten. Die Formeln sind z.B. hier: de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius.
In diesem Fall ist Konvergenzradius gleich

1

. Das bedeutet Konvergenz für alle

- 1 < x < 1

. Die Punkte am Rande (also

- 1

und

1

) muss man extra untersuchen, aber das hast Du schon gemacht.

DrBoogie aktiv_icon

22:11 Uhr, 08.12.2015

Aber Deine Berechnung für Punkt

1

ist falsch. Die Reihe ist in diesem Punkt divergent, weil sie im Wesentlichen harmonische Reihe ist.
Falsch ist

lim_{n} \frac{n^{3} + . . .}{n^{3} + . . .} < 1

, denn dieser Grenzwert ist

1

(teile im Zähler und im Nenner durch

n^{3}

Jonathan29 aktiv_icon

22:14 Uhr, 08.12.2015

Hallo noch mal :-),

habe als Konv.radius raus:

lim_{n \to \infty} (\frac{n^{3} + n^{2} + n}{n^{3} + n^{2} + n + 1}) + (\frac{n^{2} + n}{n^{3} + n^{2} + n + 1}) = 1 + 0 = 1

.

Danke für deine Hilfe. In wie weit zeigt man damit die Konvergenz der Reihe?

Darf man bei

x = - 1

für

n = 0

vernachlässigen und gibt es für

x = 1

nicht noch eine bessere Methode?

Liebe Grüße, Jonathan

DrBoogie aktiv_icon

10:02 Uhr, 09.12.2015

"In wie weit zeigt man damit die Konvergenz der Reihe?"

Das steht in jedem Skript/Buch, wo Konvergenzradius behandelt wird.
Und sogar in Wikipedia (wenn auch nicht sehr ausführlich).

"Darf man bei x=−1 für n=0 vernachlässigen"

Ein Summand hat nie Einfluss auf Konvergenz.

"und gibt es für x=1 nicht noch eine bessere Methode?"

Diese ist gut genug.

Jonathan29 aktiv_icon

15:31 Uhr, 09.12.2015

Hallo,

da das Quotienten-Kriterium für

lim_{n \to \infty} = 1

keine Aussage hat, welches Kriterium wäre hier sinnvoll anzuwenden? Minoranten?

LG, Jonathan

DrBoogie aktiv_icon

15:45 Uhr, 09.12.2015

Meinst Du bei

x = 1

?
Ja, Minorante.

\frac{n}{n^{2} + 1} \geq \frac{1}{2 n}

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