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Konvergenz Reihe mit zwei Varialblen

Schüler

Tags: Folgen, Folgen und Reihen, Konvergenz, Konvergenzbereich, Konvergenzradius, reih

Mathe99 aktiv_icon

17:28 Uhr, 11.02.2019

Folgende Aufgabe möchte ich als Vorbereitung für die anstehende Mathe 1 Klausur lösen:

Betrachten Sie die Reihe

a (k) =

∑

(x^{2}

−

1) \cdot \frac{1}{4 x^{2 k}}

.Für welche

x

konvergiert sie? Werten Sie die Reihe für die konvergenten Fälle aus.

Meine Überlegung war das Quotientenkriterium(

\frac{a (k + 1)}{a (k)} < 1

zu nutzen.

Nach mehreren Umrechnungen führt dies mMn zu

{(\frac{x}{x + 1})}^{2 k + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 1} < 1

Spätestens ab da weiß ich aber nicht mehr wie ich geeignet vereinfache. Muss ich abschätzen?
Oder ist der Ansatz schon falsch? Ich wäre über Lösungshilfe dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

18:54 Uhr, 11.02.2019

,
"Nach mehreren Umrechnungen führt dies mMn zu ...."

wie das ??

da bei der von dir notierten Summe

\to \sum (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{4 \cdot x^{2 k}}

kein Laufindex notiert ist, vermute ich mal dies

\to s (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{4 \cdot x^{2 k}}

.. ist das so gemeint?

wenn ja :

\to

dann hat doch jeder Summand den gleichen, von

k

unabhängigen Faktor

\to \frac{x^{2} - 1}{4}

also kannst du deine Summe nun so schreiben

\to s (x) = \frac{x^{2} - 1}{4} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{x^{2 k}}

und in diesem Fall jetzt damit einen neuen Anlauf für die weitere Untersuchung machen ..

ok?

Mathe99 aktiv_icon

19:06 Uhr, 11.02.2019

Ok dankeschön.

Das heißt die Konvergenz der Reihe hängt nun nur noch von der Reihe

\frac{1}{x^{2 k}}

ab.
Ist das dann eine Potenzreihe von der ich den Konvergenzradius ausrechnen muss? Wenn ja, muss ich das ja aber auf die Form

a (k) \cdot x^{k}

bringen, also

\frac{1}{x^{3 k}} \cdot x^{k}

und dann davon den Konvergenzradius??

ledum aktiv_icon

00:50 Uhr, 12.02.2019

Hallo
kennst du nicht die geometrische Reihe

\sum q^{k}

das

q

ist hier

\frac{1}{x^{2}}

und für welche

q

das konvergiert weisst du sicher. was du da gemacht hast ist sehr falsch, die

a_{n}

können doch kein

x

enthalten.
Gruß ledum

HAL9000

09:56 Uhr, 12.02.2019

> Das heißt die Konvergenz der Reihe hängt nun nur noch von der Reihe

\frac{1}{x^{2 k}}

ab.

Vorsicht: Im Fall

x = \pm 1

divergiert die Reihe über

\frac{1}{x^{2 k}}

, aber trifft das auch auf deine Ausgangsreihe zu? Mal scharf nachdenken.

Mathe99 aktiv_icon

09:58 Uhr, 12.02.2019

Ok dankeschön!
Das heißt die Reihe konvergiert für alle Elemente außer die, die in

(- 1,1)

enthalten sind. Richtig?

Mathe99 aktiv_icon

10:46 Uhr, 12.02.2019

Und noch eine kleine Frage:

In der Aufgabenstellung (siehe ursprüngliche Frage) steht: werten sie die Reihe für die konvergenten Fälle aus. Was ist damit gemeint? Ich habe doch unendlich viele konvergente Fälle, nämlich ganz

R

außer

(- 1,1) ...

HAL9000

12:10 Uhr, 12.02.2019

Ja und? Finde eine Formel für den Reihenwert, in der darf natürlich

x

als Parameter vorkommen - natürlich kann diese Formel nur für die

x

gelten, für die die Reihe auch tatsächlich konvergiert.

Mathe99 aktiv_icon

12:51 Uhr, 12.02.2019

Ich hätte dann als Formel für die Grenzwerte:

( x²

- 1) \cdot \frac{1}{4 (1 - \frac{1}{x^{2}})}

Kann das jemand so bestätigen?

rundblick aktiv_icon

18:41 Uhr, 12.02.2019

.
"Das heißt die Reihe konvergiert für alle Elemente außer die, die in

(- 1,1)

enthalten sind.
Richtig?"

\to

nein, nicht ganz richtig

\to

denn zB

\to 1

ist ja nicht in

(- 1,1) .

. usw..

\to

und was genau meinst du mit

\to

"Elemente" ?

und:
bei deiner Formel für die Grenzwerte kannst du doch noch gewaltig vereinfachen

\to

\frac{x^{2} - 1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = ...

. ?

mach mal

\to ...

.

.

HAL9000

15:31 Uhr, 13.02.2019

> nein, nicht ganz richtig denn zB 1 ist ja nicht in (-1,1) .. usw..

Was willst du damit sagen?

x = 1

ist nicht im Intervall

(- 1, 1)

enthalten, und für

x = 1

konvergiert doch aber auch die Ausgangsreihe

s (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (x^{2} - 1) \frac{1}{4 x^{2 k}}

, also alles in Ordnung.

Was natürlich richtig ist, dass für

x = \pm 1

nicht Reihenwert

\frac{1}{4}

, sondern abweichend davon Wert

s (\pm 1) = 0

herauskommt, d.h. an den Rändern des hier abgeschlossenen Konvergenzbereichs haben wir da Unstetigkeiten den Reihenwert betreffend.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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