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Konvergenz bestimmen mittels Majorantenkriterium

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenkriterium, Konvergenz, Majorante, Majorantenkriterium????

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Paratus

Paratus aktiv_icon

18:37 Uhr, 03.11.2019

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Hallo,
Ich habe für meine Mathe Übung die Aufgabe die Konvergenz verschiedener Fälle zu bestimmen mithilfe des Majorantenkriteriums.

Die Frage lautet. Für welche

x \in ℝ

konvergiert

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{1 + x^{2 n}},

für die Fälle 1.

x = 1, 2

.

[x] < 1, 3

.

[x] > 1

Für die Fälle

2)

und

3)

soll jeweils eine geometrische Reihe als konvergente Majorante gefunden werden.

Ich habe meine Lösungen als Bild angefügt.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Majoranten richtig bestimmt habe. Würde mich sehr über eine Rückmeldung freuen, ob ich das richtig gemacht habe.

C5B54DDE-48B2-4186-9444-3A75C43D36FC

88FE6B5F-BB4E-464F-B9D2-31E40AE0599E

00717D5C-EA4E-4A0F-816F-DB022027BC9C

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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ledum

ledum aktiv_icon

22:54 Uhr, 03.11.2019

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Hallo im post steht als Summand

\frac{x^{2 n}}{1 + x^{2 n}}

in deiner Rechnung steht im Nenner

x^{4 n}

was gilt?
aber bei

x < 1

hast du auf jeden Fall ja keine geometrische Reihe: du solltest benutzen Summanden

x^{2 n} \cdot \frac{1}{1 + x^{2 n}} < x^{2 n}

wegen

\frac{1}{1 + x^{2 n}} < 1

das auch falls da

x^{4 n}

steht.
bei

x > 1

kürze durch

x^{2 n}

falls da

x^{4 n}

steht und schätze dann ab zu einer geometrischen größeren Reihe. mit

x^{2} n

im Nenner konvergiert die Reihe nicht für

x > 1

geometrische Reihe sollte immer ein

q^{n}

mit

q < 1

haben.
Gruß ledum

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ermanus

ermanus aktiv_icon

09:50 Uhr, 04.11.2019

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Hallo ledum,
bei

∣ x ∣ < 1

hast du dich wohl verschrieben?
Gruß ermanus

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ermanus

ermanus aktiv_icon

10:07 Uhr, 04.11.2019

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Am interessantesten ist die Aufgabe, wenn die Reihe

\sum \frac{x^{2 n}}{1 + x^{4 n}}

lautet; denn dann zeigt ihr
Konvergenzverhalten, dass sie sich nicht in
eine Potenzreihe umschreiben lässt.
Gruß ermanus

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