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Konvergenz der Indikatorfunktion

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Aroc182 aktiv_icon

19:23 Uhr, 24.11.2017

Hallo,
ich habe eine Frage zur Konvergenz der Indikatorfunktion.
Meine Aufgabe lautet:
Sei

f_{n} = n * 1_{[0, \frac{1}{n}]}

: [0,1] ->

ℝ

Berechnen Sie, falls existent die Grenzwerte:

l i m_{n - > \infty} \int_{0}^{1} f_{n} d λ

und

\int_{0}^{1} l i m_{n - > \infty} f_{n} d λ

λ

ist das Lebesguemaß B([0,1]) ->

ℝ

Welche Auswirkung hat das Lebesguemaß auf das Integral? Und warum ist das nicht dasselbe?

Danke für jede Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:50 Uhr, 24.11.2017

Hallo,

f_{n}

ist eine Funktion, die auf dem Intervall

[0, \frac{1}{n}]

den Wert

n

annimmt und sonst gleich 0 ist. Dann kannst Du sicher das Integral darüber berechnen.

Dann schreibe auf was

f_{n} (x)

ist, und bestimmen den Grenzwert von

f_{n} (x)

für

n \to \infty

.

Gruß pwm

Aroc182 aktiv_icon

20:54 Uhr, 24.11.2017

Hallo,
intuitiv gesagt, ist des Integral 1, da es ein Rechteck mit Seitenlänge n und

\frac{1}{n}

ist. Mich verwirrt aber das d

λ

um das formal aufzuschreiben.

f_{n} (x) = n * 1_{[0, \frac{1}{n}]} (x)

wenn x in dem Intervall liegt, ist es wohl n also geht es gegen

\infty

.

Gruß

pwmeyer aktiv_icon

11:06 Uhr, 25.11.2017

Hallo,

für stückweise stetige Funktionen stimmt das Lebensgue-Integral mit dem Riemann-Integral überein. Außerdem gilt das Integral über eine Indikator-Funktion in der Lebesgue-Theorie als Grundintegral

\int_{0}^{1} c \cdot 1_{[a, b]} d λ = c \cdot (b - a)

Was die Konvergenz angeht: Wir betrachten doch den Grenzübergang

n \to \infty

. Wenn ich also ein

x > 0

betgrachte, dann gilt doch für hinreichend große

n : x \notin [0, \frac{1}{n}],

also

. .

.

Gruß pwm

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