Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Konvergenz durch Majorantenkriterium zeigen

Konvergenz durch Majorantenkriterium zeigen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Bamoas aktiv_icon

16:13 Uhr, 05.12.2018

Hallo, ich soll eine Reihe auf Konvergenz prüfen (bzw. nachweisen dass die Konvergiert) mithilfe des Majorantenkriteriums
Folgende Reihe ist gegeben:

\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{13^{n}}

Ich wäre dankbar wenn jemand mir einen weiterhelfen könnte, ob Lösung oder einen Ansatz ist egal. Ich habe bereits versucht mich darin einzulesen und habe ein paar Videos zum Majorantenkriterium gesehen aber habe den sinn davon nicht wirklich verstanden.

Mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

16:18 Uhr, 05.12.2018

Hallo,
es ist

\frac{1}{n^{2}} \leq 1

, also ist

\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{1 3^{n}}

eine Majorante.
Ist diese Majorante konvergent?
Gruß ermanus

Bamoas aktiv_icon

16:56 Uhr, 05.12.2018

Hallo,
also

\frac{1}{n^{2}} < 1

ist ja logisch aber das gilt für doch auch für

\frac{1}{13^{n}} < 1

Wieso hast du jetzt gerade das erste Glied aus dieser gleichung ausgewählt und nicht das zweite? Gibt es eine allgemeine Regel dafür?

Zu deiner 2. Frage: Ich hätte jetzt gesagt das

\frac{1}{13^{n}}

konvergiert denn es ist eine Nullfolge und sie ist monoton fallen (hier könnte man doch das Leibnitz Kriterium anwenden?)
Sind meine Überlegungen richtig oder leige ich total falsch?

ermanus aktiv_icon

17:03 Uhr, 05.12.2018

Da hast du natürlich Recht, ich hätte auch den anderen Faktor bevorzugen
können, aber die geometrische Reihe

\sum (\frac{1}{13})^{n}

mit

q = \frac{1}{13}

sprang mir sofort ins Auge.
Übrigens kann man Leibniz nur anwenden, wenn die Reihenglieder wechselndes Vorzeichen
haben. Sonst wäre ja auch die harmonische Reihe konvergent.

Bamoas aktiv_icon

17:08 Uhr, 05.12.2018

Tut mir leid wenn ich so blöd frage aber ich habe irgendwie immernoch nichts die Lösung auf mein Problem gefunden.

Überprüfe ich einfach ob bei einem Teil der Reihe (oder vielleicht die ganze Reihe)folgendes gilt: an<1
und anschließend prüfe ich ob für diese auch gilt, dass es eine Nullfolge ist?
Oder muss ich weiteres machen?

ermanus aktiv_icon

17:19 Uhr, 05.12.2018

Du nimmst dir zu der zu untersuchenden Reihe

\sum a_{n}

eine Reihe

\sum b_{n}

mit

∣ a_{n} ∣ \leq b_{n}

.
Wenn dann die Reihe

\sum b_{n}

(die Majorante) konvergiert, weiß du, dass dann
auch deine Reihe

\sum a_{n}

konvergiert.
In deinem Falle kannst du zu

a_{n} = \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{1 3^{n}}

als

b_{n}

nehmen

b_{n} = \frac{1}{1 3^{n}} = (\frac{1}{13})^{n}

oder auch

b_{n} = \frac{1}{n^{2}}

.
Nun schaut man, ob

\sum (\frac{1}{13})^{n}

bzw.

\sum \frac{1}{n^{2}}

konvergiert.
Bei

\sum (\frac{1}{13})^{n}

kennt man sich aus, weil es eine geometrische Reihe ist,
bei

\sum \frac{1}{n^{2}}

kennt man sich aus, weil dies wahrscheinlich in der
Vorlesung dran war.
Auf beide Arten haben wir also eine konvergente Majorante gefunden.

Eine Reihe kann nur dann konvergieren, wenn die

a_{n}

eine Nullfolge bilden.
Aber die Tatsache, dass sie eine Nullfolge bilden, reicht nicht aus, damit sie
konvergiert:

\sum a_{n}

konvergent

\Rightarrow

(a_{n})

ist Nullfolge, aber

(a_{n})

Nullfolge

\Rightarrow

\sum a_{n}

konvergiert oder konvergiert nicht.

Typisches Beispiel: die harmonische Reihe !

Bamoas aktiv_icon

18:53 Uhr, 06.12.2018

Hallo,
vielen dank für die Ausführliche Antwort. Dies hat mehr sehr weitergeholfen.
Gilt bei der Minoranten dann einfach, dass an

\geq

bn sein muss?

Eine letzte Frage die ich mir noch stelle:
Du hast ja die Reihe in 2 Teilreihen aufteilt und daraus das Kriterium gebildet.
Hätte man jetz nicht einfach die ganze Reihe komplett nehmen können, und eine Reihe bn bilden können, aus der ebenfalls folgt, dass an

\leq

bn, beispielsweise indem ich jedes

n

durch

n - 1

ersetze. Dadurch konvergiert die Reihe aber strebt langsamer gegen 0.

Liege ich da mit meiner Überlegung falsch?
Eine letzte Antwort wäre wirklich hilfreich :-)

ledum aktiv_icon

12:01 Uhr, 07.12.2018

Hallo
du wolltest das Majorantenkriterium anwenden, dabei vergrößert man die Summanden und zeigt dass die Reihe der vergrößerten Summanden konvergiert, also muss auch die der kleineren konvergieren.
Es wurde NICHT aus der Reihe 2 Teil-Reihen gemacht wie du sagst.
Du bleibst immer wieder bei den Folgen der

a_{n}

hängen, dass diese Nullfolgen bilden ist aber nur eine notwendige Bedingung für die Konvergenz, und keine hinreichende.
was du damit meinst, jedes

n

durch

n - 1

zu ersetzen versteh ich nicht, die Reihe bleibt dabei dieselbe, nur der Anfang ändert sich,
ob du

z . B

. über

\frac{1}{n}, \frac{1}{n - 1}

oder

\frac{1}{n + 1}

von

n = 0

bis unendlich summierst ist egal, wenn eine der Summen nicht konvergiert, dann auch die andere nicht.
natürlich gibt es auch andere Kriterien, wann eine Reihe konvergiert, (Quotienten und Wurzelkriterium) die könntest du hier auch anwenden, aber das Majorantenkriterium ist hier das einfachste.
Gruß ledum

1451109

1450895

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?