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Konvergenz einer Folge beweisen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen

 
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Trinity404

Trinity404 aktiv_icon

00:15 Uhr, 20.05.2019

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Aufgabe:

Seien (an)n∈N und (bn)n∈N (reelle) Folgen. Wenn (an) und (bn) konvergieren, so konvergiert auch (an · bn)n∈N, und es gilt:

lim (an bn) =lim (an) lim (bn)

n strebt gegen unendlich



Ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss. Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht was mein Problem ist und wo meine Schwierigkeiten liegen, weil ich bei der Aufgabe hier überhaupt keinen Ansatz habe.

Ich habe auch schon einen Ansatz vorgeschlaegn bekommen:
Ich soll die Definition von liman=a und lim bn=b mit ε Und N0 um ein N(ε) für an*bn zu konstruieren
aber den verstehe ich auch nicht wäre dankbar für jede Hilfe Danke:-)
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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michaL

michaL aktiv_icon

07:32 Uhr, 20.05.2019

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Hallo,

Standard, findet sich in jedem Analysisbuch.

Du musst ja anbn-ab abschätzen, wobei a:=limnan und b:=limnbn.

Dazu fügst du kreativ eine Null ein und wendest die Dreiecksungleichung an:
anbn-ab=anbn-(anb-anb)+ab=anbn-anb+anb-ab=an(bn-b)+(an-a)b.

Jetzt Dreiecksungleichung, ein bisschen Epsilontik, fertig.

Mfg Michael
Trinity404

Trinity404 aktiv_icon

10:44 Uhr, 20.05.2019

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Danke für die Antwort:-)
ich verstehe das jetzt so halb aber immmer noch nicht ganz muss mir den Skript nochmal durchlesen. Aber was mich interissierren würde ist ob man jetzt den Beweis weiterführen müsste oder ob das schon alles wäre was zu zeigen ist?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

13:27 Uhr, 20.05.2019

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Hallo,

> ob man jetzt den Beweis weiterführen müsste

Na klar. Man müsste etwas davor und auch etwas dahinter schreiben, damit der Beweis vollständig ist. Ich habe nur die wesentliche Idee mit angeführt.

Mfg Michael
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