Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Konvergenz einer Potenzreihe

Konvergenz einer Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Konvergenzradius, x^2n+1

Melonhat aktiv_icon

15:43 Uhr, 22.06.2024

Ich soll den Konvergenzradius der Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 1)!}{n^{n}} x^{2 n + 1}

bestimmen.

Da mich die

x^{2 n + 1}

verwirrt haben, habe ich anstatt das das QK und WK für Konvergenzradien zu verwenden versucht mit dem "normalen" Quotientenkriterium für Reihen zu arbeiten.
Ich habe erhalten

\frac{\frac{(n + 2)!}{n^{n + 1}} x^{2 n + 3}}{\frac{(n + 1)!}{n^{n}} x^{2 n + 1}} = \frac{n + 2}{n} x^{2}

Nun müsste ich ja eigentlich herausfinden, für welche x² für fast alle n der Term < 1 ist.
Für sehr große n muss x² doch lediglich kleiner als 1 sein, ist der Konvergenzradius also R = 1?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

16:20 Uhr, 22.06.2024

Leider müsste es

{(n + 1)}^{n + 1}

lauten und nicht einfach

n^{n + 1}

.

Es geht also um

lim_{n \to \infty} [\frac{n + 2}{n + 1} \cdot {(\frac{n}{n + 1})}^{n}] = \frac{1}{e}

Konvergenzradius also

\sqrt{e}

Melonhat aktiv_icon

17:32 Uhr, 22.06.2024

Oh tatsächlich. Dann erhalte ich

\frac{\frac{(n + 2)!}{(n + 1)^{n + 1}} x^{2 n + 3}}{\frac{(n + 1)!}{n^{n}} x^{2 n + 1}} = \frac{n + 2}{n + 1} {(\frac{n}{n + 1})}^{n} x^{2} = \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{1}{e} \cdot x ²

Bedeutet das dann, dass der Konvergenzradius

R = \sqrt{e}

beträgt?

Roman-22

18:22 Uhr, 22.06.2024

>

Oh tatsächlich. Dann erhalte ich (n+2)!(n+1)n+1x2n+3(n+1)!nnx2n+1=n+2n+1(nn+1)nx2=n+2n+1⋅1e⋅x²
Das letzte Gleichheitszeichen ist so falsch, aber es gilt, dass

lim_{n \to \infty} ...

= \frac{1}{e} \cdot x^{2}

ist, ja.

>Bedeutet das dann, dass der Konvergenzradius

R = e

beträgt?
Ja, hatte ich ja oben geschrieben!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1586673

1586668

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?