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Konvergenz einer Reihe

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

spurstange aktiv_icon

17:59 Uhr, 11.01.2017

Hallo liebe Forengemeinde,

ich stehe bei folgender Fragestellung vollkommen auf dem Schlauch:

Für welche Werte von

r

konvergiert die folgende Reihe

1 + 2 r +

r²

+

2r³

+ r^{4} + 2 r^{5} + r^{6}

Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Wert der Reihe.

Meiner Meinung nach handelt es sich hierbei doch um eine Potenzreihe, oder liege ich falsch? Mein großes Problem ist es aber, dass ich nicht hinter die Bildungsvorschrift dieser Reihe komme. Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben, mit welchem Verfahren ich hier auf die Lösung komme?

Danke.

Gruß

mihisu aktiv_icon

18:32 Uhr, 11.01.2017

1 + 2 r + r^{2} + 2 r^{3} + r^{4} + 2 r^{5} + r^{6}

Ich denke, dass wohl eher

1 + 2 r + r^{2} + 2 r^{3} + r^{4} + 2 r^{5} + r^{6} + ...

gemeint ist, oder? Eine endliche Reihe wäre etwas langweilig.

\\\\

Du kannst die Reihe als

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{3 - {(- 1)}^{n}}{2} r^{n}

schreiben.

Oder du kannst auch einfach schreiben, dass es sich um die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} r^{n}

mit

a_{n} = 1

für gerades

n

und

a_{n} = 2

für ungerades

n

handelt.

\\\\

Zur Lösung der Aufgabe:
Bestimme zunächst den Konvergenzradius der Potenzreihe.

Das Quotientenkriterium, also die Untersuchung von

| \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

wird dir hier nicht wirklich weiterhelfen, damit erhälst du höchstens die Aussage das der Konvergenzradius ziwschen

\frac{1}{2}

und 2 liegen muss.

Verwende stattdessen das Wurzelkriterium bzw. Formel von Cauchy-Hadamard, wonach sich der Konverganzradius

R

folgendermaßen berechnen lässt:

R = \frac{1}{l i m s u p_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |}}

Dann weiß man, dass die Reihe für alle

r

mit

| r | < R

absolut konvergiert, und dass die Reihe für alle

r

mit

| r | > R

divergiert. Dann muss man nur noch den Fall

| r | = R

untersuchen.

[

Nachfrage: Aus welchem Bereich stammen die Werte für

r

ℂ

oder

ℝ,

oder igrendeine andere Menge?

]

\\\\

Zur Bestimmung des Reihenwertes:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} r^{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{2 k} r^{2 k} + a_{2 k + 1} r^{2 k + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} r^{2 k} + 2 r^{2 k + 1} = (1 + 2 r) \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} r^{2 k} = ...

[

Tipp: geometrische Reihe]

rundblick aktiv_icon

18:33 Uhr, 11.01.2017

lim_{n \to \infty} [\sum_{k = 0}^{n} r^{2 \cdot k} + 2 \cdot \sum_{k = 0}^{n} r^{2 \cdot k + 1}] =

??

.

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