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Konvergenz einer Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz

Moe93 aktiv_icon

10:51 Uhr, 14.01.2017

Guten Morgen!

Es geht um der Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \cdot {(\frac{k}{k + 1})}^{k^{2}}

Wenn ich den zweiten Faktor umforme, erhalte ich:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \cdot {(\frac{1}{{(1 + \frac{1}{k})}^{k}})}^{k}

Bekannt ist bereits, dass:

{(1 + \frac{1}{k})}^{k} \to e

für

k \to \infty

Aber was bringt mir das?

Wie sollte ich am besten argumentieren? Mit dem Quotientenkriterium wird das ganze ziemlich unübersichtlich und hässlich...

Meine Vermutung ist, dass die Reihe divergiert... allerdings fällt es mir etwas schwer, eine divergiernde Minorante zu finden.

Vielen Dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

10:57 Uhr, 14.01.2017

Das Wurzelkriterium bietet sich doch an.

Moe93 aktiv_icon

11:04 Uhr, 14.01.2017

Also:

k \sqrt{k^{2} \cdot {(\frac{1}{{(1 + \frac{1}{k})}^{k}})}^{k}}

Wie soll ich beim Bestimmen des

lim

superior da vorgehen?

Respon

11:08 Uhr, 14.01.2017

Meinst du wirklich

\sum_{k = 1}^{n}

?
Das wäre doch eine endliche Reihe !

Moe93 aktiv_icon

11:13 Uhr, 14.01.2017

Meintest du unter der Wurzel? Falls ja, dann habe ich's verbessert.

Respon

11:15 Uhr, 14.01.2017

In der Angabe.

Moe93 aktiv_icon

11:18 Uhr, 14.01.2017

Ja, so steht es in der Angabe. Und die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie auf Konvergenz.

Respon

11:20 Uhr, 14.01.2017

Eine endliche Reihe ist doch immer konvergent.
Es sollte doch heißen

\sum_{k = 1}^{\infty}

Moe93 aktiv_icon

11:26 Uhr, 14.01.2017

Reihen sind doch immer mit der Länge

n

angegeben und du lässt

n

gegen unendlich laufen; und

\sum^{\infty}

haben wir den Wert der Summe definiert.

Respon

11:35 Uhr, 14.01.2017

Der Vorschlag von Shipwater bringt dich ans Ziel. Wo hast du da Schwierigkeiten ?

\sum_{k = 1}^{\infty} k^{2} \cdot {(\frac{k}{k + 1})}^{k^{2}}

Da alle Summanden positiv sind, kann man die Betragsstriche weglassen.

\sqrt[k]{(k^{2} \cdot {(\frac{k}{k + 1})}^{k^{2}})} = \sqrt[k]{k^{2}} \cdot {(\frac{k}{k + 1})}^{k}

Und jetzt schau dir vorerst

{(\frac{k}{k + 1})}^{k}

an ( das hatten wir bei einem anderen Beispiel ja schon ).

Moe93 aktiv_icon

11:54 Uhr, 14.01.2017

k \cdot \sqrt{{(\frac{1}{{(1 + \frac{1}{k})}^{k}})}^{k}}

\sqrt{{(\frac{1}{{(1 + \frac{1}{k})}^{k}})}^{k}} \to \sqrt{\frac{1}{e^{k}}} = \frac{1}{\sqrt{e^{k}}},

was eine Nullfolge ist für

k \to \infty

Aber die Gleichheit

\sqrt{k^{2}} = k

stimmt doch nicht. Denn beim Wurzelkriterium ist es die k-te Wurzel, oder liege ich da falsch?

Respon

12:02 Uhr, 14.01.2017

Richtig, war schusselig. Hab's schon ausgebessert.
Und

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^{2}} = lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} \cdot \sqrt[k]{k} = 1 \cdot 1 = 1

Moe93 aktiv_icon

12:19 Uhr, 14.01.2017

Also ist der Limes superior

\frac{1}{e} < 1

und die Reihe konvergiert absolut?

Respon

12:22 Uhr, 14.01.2017

Ja, sie konvergiert ( und absolut wegen der positiven Summanden )
Und schau dir bei Gelegenheit die Definition von "Limes superior" an.

Moe93 aktiv_icon

12:26 Uhr, 14.01.2017

Der Limes superior ist definiert als größter Häufungspunkt, aber was ist hier der größte Häufungspunkt?

Respon

12:28 Uhr, 14.01.2017

Hier hast du eine gute Zusammenfassung ( oder schau in deinem Skriptum nach ).
de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior#Definition

Moe93 aktiv_icon

12:32 Uhr, 14.01.2017

Wir hatten das auch schon auf einem Übungsblatt, allerdings bin ich gerade etwas verwirrt.
Wir haben doch hier nur einen Häufungspunkt, nämlich

\frac{1}{e}

. Oder irre ich mich?

Respon

12:37 Uhr, 14.01.2017

Ja, wir haben einen Grenzwert. In diesem Fall ist

lim

s u p

und

lim i n f

identisch und der Grenzwert.
Und die gegebene Reihe hat natürlich keinen Konvergenzradius, der ist nur relevant bei

z . B

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(a - x_{0})}^{n}

Moe93 aktiv_icon

12:58 Uhr, 14.01.2017

Vielen Dank! Du warst mir, wie schon das letzte Mal, eine große Hilfe!

Shipwater aktiv_icon

14:56 Uhr, 14.01.2017

@Respon:

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

ist oft abkürzend für die Folge

{(\sum_{k = 1}^{n} a_{k})}_{n \in ℕ}

gemeint.

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