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Konvergenz einer Reihe bestimmen. Wuzelkriterium.

Schüler Kaufmännische mittlere u. höhere Schulen, 6. Klassenstufe

Tags: divergenz, Konvergenz, reih, Wurzelkriterium

bladefire aktiv_icon

14:16 Uhr, 19.12.2020

Hallo,

Ich habe ein Bsp. mit einer Reihe Wo ich mir ziemlich unsicher bin.

Ich muss zeigen, das eine Reihe von

n = 1

bis unendlich konvergiert oder divergiert.

Also das steht hinter dem Summenzeichen:

\frac{n^{4}}{4^{n}}

Ich würde es jetzt mit der Wurzelmethode versuchen zu zeigen. Die Methode wie man es zeigen darf ist nicht vorgegeben.

nachdem ich die nte wurzel gezogen habe kommt folgendes raus.

\frac{n^{\frac{4}{n}}}{4}

Meine überlegung wäre jetzt, da der limes von

n \to

unendlich

\frac{4}{n}

ja 0 ist und

n^{0}

ja 1 ist das Ergebnis

\frac{1}{4}

ist. Was bedeutet, dass es konvergiert.

Stimmt das so? Wenn nein, wie würde es stimmen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

N8eule

14:38 Uhr, 19.12.2020

Hallo
Du hast Glück, du bekommst über eine Reihe von Fehlern tatsächlich das Richtige raus...
:-) ...grins...

Aber bedenke, wenn wir deiner Argumentation folgten, dann gälte auch:

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

"da

\frac{1}{n}

ja 0 ist und

(1 + 0)

hoch unendlich ja 1 ist das Ergebnis 1".
Dass dem nicht so ist, sollte hinlänglich bekannt sein.
Du darfst bei Grenzwerten die Reihenfolge nicht so willkürlich schlampig nach Gutdünken wählen.

Darf ich den Vorgang mal in meine Worte und Anschauung kleiden:

Wurzelkriterium:

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = lim \sqrt[n]{\frac{n^{4}}{4^{n}}} = \frac{lim \sqrt[n]{n^{4}}}{lim \sqrt[n]{4^{n}}}

= \frac{1}{4} \cdot lim n^{\frac{4}{n}} = \frac{1}{4} \cdot {[lim n^{\frac{1}{n}}]}^{4} = . .

.

Kennst du diesen Klassiker?

PS - und zur Übung:
Ich empfehle auch noch das Quotientenkriterium...

bladefire aktiv_icon

11:29 Uhr, 20.12.2020

Ja. Danke!

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