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Konvergenz einer Reihe für bestimmte x

Universität / Fachhochschule

Tags: RR

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08:18 Uhr, 15.01.2013

Moin,
bei dieser Aufgabe brauche ich eure Hilfe:
Für welche

x

aus

ℝ

konvergiert die unendliche Reihe

\frac{x^{n}}{n}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

09:40 Uhr, 15.01.2013

Quotiententest

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{x^{n + 1} \cdot n}{(n + 1) \cdot x^{n}} | =

lim_{n \to \infty} | x | \cdot (\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}) = | x | \cdot lim_{n \to \infty} \cdot (\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}) \Rightarrow | x | < 1

Für

| x | < 1

konvergiert die Reihe.

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12:30 Uhr, 15.01.2013

Wie kommst du von

\frac{n}{n + 1}

auf

1 + \frac{1}{n}

anonymous

12:33 Uhr, 15.01.2013

Sorry, Schreibfehler

\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}

anonymous

12:39 Uhr, 15.01.2013

Ergänzende Bemerkung:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1

bleibt aber für alle endlichen

n

kleiner als 1.
Der Wert des Quotienten ist daher ausschließlich von

| x |

abhängig.

anonymous

12:44 Uhr, 15.01.2013

Und noch eine Ergänzung:
Die Reihe

Σ_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}

ist ein alter mathematischer Bekannter und ergibt

- ln (1 - x)

( falls

| x | < 1)

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12:47 Uhr, 15.01.2013

Aus dem letzten folgt dann

| x | \cdot 1

. Wieso muss dann

| x | < 1

sein sämigste Reihe konvergiert?
Du hast das Quotientenkriterium angewendet?

anonymous

12:51 Uhr, 15.01.2013

Das Quotientenkriterium verlangt, dass der Quotient aufeinanderfolgender Glieder kleiner als 1 ist.
Der Quotient ist

| x | \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}

Da der zweite Faktor immer kleiner als 1 ist, muss

| x | < 1

sein, damit das gesamte Produkt

< 1

ist.

| x |

ist von

n

unabhängig, somit sind alle Bedingungen erfüllt.
http//de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

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13:08 Uhr, 15.01.2013

Da der zweite Faktor kleiner 1 ist, kann dann

| x |

nicht auch 1 sein?
Oder muss

| x |

kleiner 1 sein weil der zweite Faktor gegen 1 konvergiert?

anonymous

13:16 Uhr, 15.01.2013

Die Summe

Σ_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}

enthält ein

x

. Dieses

x

ist keine Variable, sondern eine vorerst unbekannte reelle Zahl, die wir bestimmen können.

(z . B

. wählen wir

x = 0,8)

Das Quotientenkriterium besagt

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \leq q < 1

Dabei muss

q

ein fester, unveränderlicher und von

n

unabhängiger Wert sein.
In unserem Beispiel ergibt sich:

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = | x | \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \leq | x |

( da ja der zweite Faktor kleiner 1 ist )

d . h

| x |

übernimmt hier die Rolle des

q

| x |

ist ein fester Wert, unabhängig von

n

. Um nun zu erreichen dass unser

q (

das ist hier

| x |) < 1

sein soll, muss ich eben

| x | < 1

wählen.
Wiki hat einige schöne Beispiele.
Nehmen wir das obige Beispiel

x = 0,8,

so erhalten wir

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \leq 0,8 < 1 \Rightarrow

Konvergenz

hotSAUCEEE aktiv_icon

13:36 Uhr, 15.01.2013

Danke für die tolle Erklärung!

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