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Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

mathelow123 aktiv_icon

20:18 Uhr, 15.10.2013

Hallo liebes Onlinemathe-Forum!

Gerade behandeln wir die Konvergenz von Reihen, und ich habe eine Frage dazu, da ich mir gar nicht sicher bin.

Wäre nett, wenn mal jemand drüber schauen würde!

Geg. ist Folgende Reihe:

Die Aufgabe ist es, sie auf Konvergenz zu untersuchen.
Ich habe das zwar soweit ausgerechnet, aber ich bin mir gar nicht sicher, ob das überhaupt stimmt bzw. man das Quotientenkriterium hier überhaupt benutzen kann.

f_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k (k + 1)}}

Mit dem Quotientenkriterium komme ich auf

\frac{\sqrt{k^{2} + k}}{\sqrt{k^{2} + 3 k + 2}}

.

Da ja für jedes

k \geq 0

gilt:

\sqrt{k^{2} + k} \leq \sqrt{k^{2} + 3 k + 2}

und somit

0 \leq \frac{\sqrt{k^{2} + k}}{\sqrt{k^{2} + 3 k + 2}} \leq 1,

aber für fast alle negativen

k

dies nicht gilt, konvergiert

f_{k}

nicht.

Kann man das so erklären, bzw. stimmt das überhaupt? (Hoffentlich wenigstens ansatzweise).

Danke schonmal im Vorraus!

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

08:13 Uhr, 16.10.2013

Hallo,

beim Quotientenkriterium muss der Grenzwert von

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

kleiner als 1 sein. Also nicht kleiner oder gleich, auch nicht ohne Grenzwert! Wenn ihr die harmonische Reihe schon als divergent bewiesen habt, wäre die für eine Minorante tauglich!

mathelow123 aktiv_icon

11:06 Uhr, 16.10.2013

Ok, danke!
Aber der Grenzwert der Wurzelgleichung die ich am ende raus hab hat ja den Grenzwert

0,

lässt sich das dann nicht mit dem quotientenkriterium machen?

Danke für den Tipp mit der minorante, werde wenn ich daheim bin mal versuchen.

Bummerang

11:46 Uhr, 16.10.2013

Hallo,

"Aber der Grenzwert der Wurzelgleichung die ich am ende raus hab hat ja den Grenzwert 0 ..."

Die Ungleichung

0 \leq \frac{\sqrt{k^{2} + k}}{\sqrt{k^{2} + 3 \cdot k + 2}} \leq 1

führt zwar beim Grenzübergang zu der Ungleichung

0 \leq lim_{k \to + \infty} \frac{\sqrt{k^{2} + k}}{\sqrt{k^{2} + 3 \cdot k + 2}} \leq 1

Aber das sagt doch noch lange nicht, dass der Grenzwert gleich Null wäre! Und der Grenzwert ist auch nicht Null. Der Grenzwert ist 1 und das Quotientenkriterium sagt dann, dass es nicht weiss, ob die Folge konvergiert oder nicht. Wäre der Grenzwert kleiner

1,

nur zur Sicherheit noch mal extra betont: echt kleiner als

1,

dann würde die Folge konvergieren. Wäre der Grenzwert größer als

1,

auch wieder echt größer, dann würde sie divergieren. Bei "gleich 1" ist das Quotientenkriterium nicht aussagefähig, wie auch in diesem Fall.

Aber mit der harmonischen Reihe als divergenter Minorante funktioniert es problemlos.

mathelow123 aktiv_icon

17:47 Uhr, 16.10.2013

Alles klar, dankeschön :-)
Also nehme ich

\frac{1}{\sqrt{k (k + 1)}} > \frac{1}{\sqrt{(k + 1) (k + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{{(k + 1)}^{2}}} = \frac{1}{k + 1}

Ich will aber auf

\frac{1}{k}

kommen, (denn dann wäre ja meine Reihe laut Minorantenkriterium auch divergent) was mach ich da?

Also

\frac{1}{k + 1} < \frac{1}{k},

aber am ende will ich wenn möglich auf

\frac{1}{\sqrt{k (k + 1)}} > \frac{1}{k}

oder sowas kommen, sodass ich anhand der Minorantenkriteriums die Divergenz erkenne.

Wer kann helfen?

MFG

Respon

23:08 Uhr, 16.10.2013

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k + 1}

ist ebenfalls divergent.

Bummerang

10:46 Uhr, 17.10.2013

Hallo,

mal etwas zum Hintergrund der kurzen Antwort von Respon: Die reellen Zahlen sind bzgl. der Addition abgeschlossen,

d . h

. addiert man zwei reelle Zahlen, dann erhält man als Ergebnis eine reelle Zahl. In Deiner Summe addierst Du zwar nur rationale Zahlen, aber durch den Grenzübergang (Summe bis unendlich) kann am Ende doch eine reelle Zahl herauskommen, wenn die Reihe konvergiert, da die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Deshalb muss man die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen als Grundlage hernehmen.

Jetzt weiss man, dass

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k + 1} = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

ist (simple Indexverschiebung) und dass

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

divergent ist. Es gilt aber:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

Der erste Summand auf der rechten Seite ist definitiv innerhalb der reellen Zahlen. Wäre der zweite Summand ebenfalls aus den reellen Zahlen, dann wäre die Summe wegen der Abgeschlossenheit auch in den reellen Zahlen. Die Summe ist aber, wie man bereits weiss, nicht in den reellen Zahlen, also kann die Annahme, dass beide Summanden der rechten Seite reelle Zahlen wären falsch. Da, wie bereits gesagt, der erste Summand eine reell Zahl ist, kann der zweite Summand keine reelle Zahl sein.

Allgemein sagt man deshalb: Von einer divergenten Reihe kann man beliebig viele Summanden weglassen, wenn es nur endlich viele Summanden sind. Die daraus entstehende verkürzte Reihe ist wieder divergent!

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