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Konvergenz einer Reihe mit beliebigem Faktor

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

ker-o aktiv_icon

17:25 Uhr, 20.11.2016

Hey,
man soll die folgende Reihe auf Konvergenz/ Divergenz untersuchen:

\sum_{n = 1}^{\infty} (a + \frac{1}{n})^{n}

mit

a \in [0, \infty)

Mein Ansatz:

\sum_{n = 1}^{\infty} (a + \frac{1}{n})^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot a^{k} \cdot (\frac{1}{n})^{n - k})

Für

a = 1

ist der Grenzwert

(a + \frac{1}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} \overset{}{\to} e

(Reihe divergent)
Für

a > 1

ist der Grenzwert

(a + \frac{1}{n})^{n} \overset{}{\to} \infty

(Reihe divergent)
Für

a < 1

ist der Grenzwert

(a + \frac{1}{n})^{n} \overset{}{\to} 0

(Reihe konvergent)

Ich weiß leider nicht wie ich das ganze beweisen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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DrBoogie aktiv_icon

17:30 Uhr, 20.11.2016

Nutze, dass

(1 + \frac{x}{n})^{n} \to e^{x}

ker-o aktiv_icon

18:46 Uhr, 20.11.2016

Wie genau mache ich mir den Grenzwert von

(1 + \frac{x}{n})^{n}

zu nutze? x=1 ist ja fest, hingegen a beliebig (>=0)?

michaL aktiv_icon

18:54 Uhr, 20.11.2016

Hallo,

sorry, DrBoogie, für's Eingreifen, aber die Gelegenheit ist einfach zu wertvoll.

@ker-o: Die richtigen Fragen sind tatsächlich ein wesentlicher Faktor beim Lernen von Mathematik.
Du fragst ganz richtig
> Wie genau mache ich mir den Grenzwert von

{(1 + \frac{x}{n})}^{n}

zu nutze?

x = 1

ist ja fest, hingegen

a

beliebig
Also, wie schafft man es, dass dort, wo bei dir in der Klammer ein

a

(womöglich

\neq 1

) steht, eine 1 hinkommt???

Wenn du die Frage (korrekt) beantworten kannst, bist du auf einem richtigen Weg.

Mfg Michael

ker-o aktiv_icon

19:36 Uhr, 20.11.2016

Das wird wohl nur passieren wenn ich den Fall

a = 1

betrachte.

Sei a=1

\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}

Anwendung des Wurzelkriteriums:

(n - t e) \sqrt{(1 + \frac{1}{n})^{n}} = 1 + \frac{1}{n} > 1

\Rightarrow a_{n}

divergiert für

a = 1

\Rightarrow s_{n}

divergiert für

a = 1

Reicht das als Begründung für a=1?

michaL aktiv_icon

19:39 Uhr, 20.11.2016

Hallo,

> Das wird wohl nur passieren wenn ich den Fall a=1 betrachte.

Nö.
Fällt dir sonst noch was ein?

Mfg Michael

ker-o aktiv_icon

19:52 Uhr, 20.11.2016

für

a > 0

nach Voraussetzung fällt mir sonst kein Fall ein, für den gilt:

(a + \frac{1}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

mit

x = 1

was übersehe ich?!

michaL aktiv_icon

20:24 Uhr, 20.11.2016

Hallo,

ich sprach auch nicht davon, dass dort eine von vornherein sein sollen, sondern eine "hinkommt".
Probates Mittel beim "Umformen" Termen sind natürlich Termumformungen...

Mfg Michael

ker-o aktiv_icon

20:31 Uhr, 20.11.2016

ich würde ja das a einfach "rausziehen" und dann alles übrige in Abhängikeit von a schreiben, aber genau da liegt mein Problem.

(a + \frac{1}{n})^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot a^{k} \cdot (\frac{1}{n})^{n - k}

mehr krieg ich da nicht umgeformt..

DrBoogie aktiv_icon

20:34 Uhr, 20.11.2016

Vergiss Binomialkoeffizienten, es ist alles einfacher.

(a + \frac{1}{n})^{n} = a^{n} (1 + \frac{1 / a}{n})^{n}

. Der zweite Faktor konvergiert gegen

e^{1 / a}

für

a \neq 0

und beeinflusst daher die Konvergenz nicht (für

a \neq 0

ker-o aktiv_icon

20:50 Uhr, 20.11.2016

Vielen Dank für den Hinweis! Aus welchem Potenzgesetz geht denn diese Umformung hervor?

lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty

und

lim_{n \to \infty} (\frac{\frac{1}{a}}{n})^{n} = lim_{n \to \infty} ({\frac{1}{a \cdot n}}^{n}) = 0

für

a \neq 0

\Rightarrow a_{n}

divergiert für

a \neq 0

\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} (a + \frac{1}{n})^{n}

divergiert für

a \neq 0

soweit korrekt?

DrBoogie aktiv_icon

21:00 Uhr, 20.11.2016

"Aus welchem Potenzgesetz geht denn diese Umformung hervor?"

(a b)^{n} = a^{n} b^{n}

.

"soweit korrekt?"

Nö.

0 . 5^{n}

konvergiert gegen

0

und nicht gegen

\infty

ker-o aktiv_icon

21:28 Uhr, 20.11.2016

Könntest du die Rechnung nochmal ausführlich (beispielbezogen) aufschreiben - man hat ja

(a + b)^{n}

und nicht

(a \cdot b)^{n}

?
______________________________

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} a^{n} \cdot 1^{n} = lim_{n \to \infty} a^{n}

Fall 1: a<1

lim_{n \to \infty} a^{n} = 0

Fall 2: a=1

lim_{n \to \infty} a^{n} = 1

Fall 3: a>0

lim_{n \to \infty} a^{n} = \infty

so ist es aber korrekt, oder?

DrBoogie aktiv_icon

21:38 Uhr, 20.11.2016

"Könntest du die Rechnung nochmal ausführlich (beispielbezogen) aufschreiben"

Hm, das solltest Du eigentlich längst gecheckt haben.
Ich mache dies:

(a + b)^{n} = (a \cdot (1 + \frac{b}{a}))^{n}

, also eine elementare Umformung, und dann wende ich die besagte Regel:

(a \cdot (1 + \frac{b}{a}))^{n} = a^{n} \cdot (1 + \frac{b}{a})^{n}

ker-o aktiv_icon

21:44 Uhr, 20.11.2016

Habs nun verstanden, der Bruch hatte mich irritiert - Danke für den kleinen Exkurs :-D)

Der Rest ist aber soweit korrekt?

DrBoogie aktiv_icon

21:54 Uhr, 20.11.2016

Der Rest ist korrekt, aber Du muss noch von

a_{n}

als Folge zu der Reihe

\sum a_{n}

kommen.

ker-o aktiv_icon

22:15 Uhr, 20.11.2016

Für die Partialsumme

a^{n} \cdot (\frac{1}{a \cdot n})^{n}

gilt:
1.Fall

a \neq 0

lim_{n \to \infty} a^{n} \cdot (\frac{1}{a \cdot n})^{n} = lim_{n \to \infty} a^{n} \cdot lim_{n \to \infty} (\frac{1}{a \cdot n})^{n} = lim_{n \to \infty} a^{n} \cdot 0 = 0

(Betrachte zsätzlich die Partialsumme

a^{n} \cdot 1^{n} = a^{n})

Fall 1.1

a < 1

lim_{n \to \infty} a^{n} = 0 \Rightarrow s_{n}

ist konvergent (für

a < 1

)

Fall 1.2

a = 1

lim_{n \to \infty} a^{n} = 1 \Rightarrow s_{n}

ist konvergent (für

a = 1

)

Fall 1.3

a > 1

lim_{n \to \infty} a^{n} = \infty \Rightarrow s_{n}

ist divergent (für

a > 1

)

2.Fall

a = 0

lim_{n \to \infty} a^{n} \cdot (\frac{1}{a \cdot n})^{n} = u n d e f \Rightarrow s_{n} = \emptyset \Rightarrow s_{n}

divergiert.

Fall 2 irritiert mich sehr. Konvergiert die leere Folge gegen 0? Sie konvergiert auf jeden Fall nicht

\Rightarrow

Divergenz.

ledum aktiv_icon

22:43 Uhr, 20.11.2016

wie kommst du auf einmal von den bisherigen Ausdrücken auf "Partialsummen"

a^{n} \cdot (\frac{1}{{(a \cdot n)}^{n}} = \frac{1}{n^{n}}

das konvergiert wirklich gegen 0 aber was hat es mit der Reihe, die du untersuchst zu tun
wie du es schreibst ist es aber falsch wenn

lim a^{n}

nicht endlich ist kannst du sowas nicht schreiben
Gruß ledum

ker-o aktiv_icon

23:12 Uhr, 20.11.2016

Was wäre denn der korrekte Ausdruck für

a^{n} \cdot (\frac{1}{a \cdot n})^{n}

in Bezug auf die Reihe

s_{n}

? Teilfolge wäre ja auch falsch...

Wäre dann statt der flaschen Schreibweise (

l i m

a^{n} = \infty

) folgende Schreibweise korrekt:

a^{n} \overset{}{\to} \infty

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