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Konvergenz einer Reihe mit sin(k)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

anonymous

17:57 Uhr, 29.03.2011

Hallo,

eine kurze Verständnisfrage:

Es geht um diese Reihe:

sin (k) \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}

(natürlich mit Summenzeichen, aber ich kenne die Syntax dafür nicht!)

Bilde ich den Grenzwert, so gilt:

lim_{k \to \infty} sin (k) \cdot {(\frac{1}{2})}^{k} = 0

Trivialkrit. erfüllt, alles klar, weiter gehts:

Für

{(\frac{1}{2})}^{k}

gilt die geom. Reihe

q^{n},

| q | = \frac{1}{2} < 1

setze ich:

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

. Lässt man den

sin (k)

also außen vor, würde die Reihe gegen 2 konvergieren, oder?

Wie genau beeinflusst der

sin (k)

die Reihe und kann ich, sobald eine trig. Funktion im Spiel ist, die "dazumultipliziert" wird automatisch von Divergenz ausgehen?

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:03 Uhr, 29.03.2011

Hallo,

nun, da

- 1 \leq \sin (x) \leq 1

gilt, kann man

\frac{∣ \sin (k) ∣}{2^{k}}

gegen

\frac{1}{2^{k}}

abschätzen.

Beantwortet das deine Frage?

Mfg Michael

anonymous

18:11 Uhr, 29.03.2011

Joar

. .

. Ich glaube ich weiß worauf du hinaus willst, bitte noch mal zwei oder drei Sätze mehr dazu und ich bin zufrieden. So ganz blicke ich's gerade noch nicht

. .

.

Du nimmst an, dass:

{(\frac{1}{2})}^{k} = (\frac{1^{k}}{2^{k}}) = \frac{1}{2^{k}}

Das ist dein erster Schritt, oder?

Daraus folgt:

\Rightarrow \frac{| sin (k) |}{2^{k}}

Soweit bin ich ja noch dabei. Aber wieso ist

\frac{| sin (k) |}{2^{k}} \Rightarrow \frac{1}{2^{k}}

Der Betrag vom Sinus ist doch nicht zwangsläufig 1?

. .

. Wäre die Konvergenz gegen 2 für den Fall dass

sin (k)

NICHT in der Gleichung stünde richtig?

Gruß

michaL aktiv_icon

18:24 Uhr, 29.03.2011

Hallo,

deine Reihe braucht zwei Argumente hintereinander: zuerst zeigst du, dass deine Reihe sogar absolut konvergiert. Und das tust du, in dem du zeigst, dass

\sum \frac{1}{2^{k}}

konvergente Majorante der Betragsreihe ist.

Alles klar?

Mfg Michael

anonymous

18:37 Uhr, 29.03.2011

Okay! Also nutzt du das Majorantenkriterium. (Sorry, Konvergenz von Reihen ist neu für mich, stelle mich da ein bisschen blöd an.)

Nur zum Verständnis:

\frac{1}{2^{k}}

ist konvergent, weil

lim_{k \to \infty} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{\infty} = 0

Daher ist

\frac{| sin (k) |}{2^{k}}

ABSOLUT konvergent. (Siehe Kriterium). Wäre das so richtig?

Und

\frac{1}{2^{k}} = {(\frac{1}{2})}^{k} \Rightarrow \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

Also ist

sin (k) \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}

absolut konvergent gegen 2?

michaL aktiv_icon

18:45 Uhr, 29.03.2011

Hallo,

ok, der Reihe nach:
1.

\sum \frac{1}{2^{k}}

ist als geometrische Reihe konvergent. Dafür gibt es eine Formel, deren Grenzwert man direkt ausrechnen kann (hast du ja auch irgendwo geschrieben). Also die Konvergenz musst du meiner Meinung nicht mehr beweisen.
2. Es gilt:

∣ \frac{\sin (k)}{2^{k}} ∣ \leq \frac{1}{2^{k}}

, weshalb die Reihe

\sum \frac{\sin (k)}{2^{k}}

absolut konvergent ist.
3. Jede absolut konvergente Reihe ist auch (normal) konvergent!

Mfg Michael

anonymous

18:53 Uhr, 29.03.2011

Okay, das war der Durchbruch! ;-)

Nur noch ein Nachbrenner: Reicht es zu zeigen, dass Konvergenz / abs. Konvergenz vorherrscht oder gehört im Falle der Konvergenz der Wert, gegen den die Reihe konvergiert, dazu?

Danke dir auf jeden Fall schon einmal!

michaL aktiv_icon

18:56 Uhr, 29.03.2011

Hallo,

wenn die Aufgabe lautet zu zeigen, dass die Reihe konvergiert, dann braucht man den Wert der Reihe nicht anzugeben. Jedenfalls meiner Meinung nach!

Mfg Michael

anonymous

19:25 Uhr, 29.03.2011

Alles klar!

Danke!

Hast mir sehr geholfen! :-)

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