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Konvergenz einer Wurzelfolge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz, Wurzeln

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lila13

lila13 aktiv_icon

18:26 Uhr, 11.11.2014

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Hallo ihr Mathegenies!

Definition: Eine reelle Folge

a_{n}

konvergiert gegen

a \in ℝ,

wenn es zu jeder positiven Zahl

ε

einen Index

n_{0}

so gibt, dass für alle Indizes

n > n_{0}

stets

| a_{n} - a | < ε

ist.

Sei

a_{n}

beispielsweise

(a_{n}) = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}

. Laut der Lösung meiner Professorin gilt dann

n_{0} > \frac{1}{ε^{2}} - 1

.
Ich bekomme allerdings folgendes raus:

\sqrt{n_{0} + 1} - \sqrt{n_{0}} < ε

(\sqrt{n_{0} + 1} - \sqrt{n_{0}}) \cdot (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}}) < ε \cdot (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}})

(n_{0} + 1) \cdot (n_{0}) < ε \cdot (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}})

\frac{(n_{0} + 1) \cdot (n_{0})}{\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}}} < ε

.

Ich muss mich also irgendwo vertan haben. Kann mir jemand weiterhelfen? Ich habe nämlich noch so ein Beispiel, wo ich dasselbe Problem habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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michaL

michaL aktiv_icon

18:38 Uhr, 11.11.2014

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Hallo,

welche Umformung hat dich von

(\sqrt{n_{0} + 1} - \sqrt{n_{0}}) (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}})

zu

(n_{0} + 1) (n_{0})

geführt?

Mfg Michael

lila13

lila13 aktiv_icon

18:54 Uhr, 11.11.2014

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Vielen Dank für den Hinweis, da ist mir wohl ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen!

Aus

(\sqrt{n_{0} + 1} - \sqrt{n_{0}}) \cdot (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}}) < ε \cdot (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}})

folgt mittels binomischer Formel natürlich was anderes, nämlich:

(n_{0} + 1) - (n_{0}) < ε \cdot (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}})

. Vereinfachen wir das, erhalten wir

1 < ε \cdot (\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}})

. Abschließend dividieren wir durch

(\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}})

und dies ergibt:

\frac{1}{\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}}} < ε

.

Nur wie kommt meine Professorin auf

\frac{1}{ε^{2}} - 1 < n_{0}

?

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

18:55 Uhr, 11.11.2014

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Hallo
im Zähler steht

n_{0} + 1 - n_{0} = 1

(binomische Formel!)
Gruß ledum

lila13

lila13 aktiv_icon

18:57 Uhr, 11.11.2014

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n_{0} + 1 - n_{0}

ergibt für mich

1,

weshalb ich im Nenner 1 hingeschrieben habe. War dies etwa ein Fehler?

Antwort

michaL

michaL aktiv_icon

19:01 Uhr, 11.11.2014

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Hallo,

\frac{1}{\sqrt{n_{0} + 1} + \sqrt{n_{0}}} \leq \frac{1}{\sqrt{n_{0} + 1}} < ε \overset{}{\Leftrightarrow} \dots

Mfg Michael

Frage beantwortet

lila13

lila13 aktiv_icon

11:54 Uhr, 12.11.2014

Antworten

Vielen, vielen herzlichen Dank michaL!! Endlich habe ich mal etwas in Analysis verstanden!! Danke, danke, danke!!

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