Konvergenz einer komplexen Folge

Hallo,

ich habe eine komplexe Folge gegeben und soll sie auf ihr Konvergenzverhalten untersuchen und ggf. den Grenzwert angeben.

${\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Hinweis: Eine komplexe Folge ist genau dann konvergent, wenn ihr Realteil und ihr Imaginärteil konvergieren.

Habe die Folge also nach Real- und Imaginärteil untersucht und bin beim Realteil auf den Grenzwert ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ gekommen. Im Imaginärteil ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$habe ich für ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ den Grenzwert 0. Aber bei ${\displaystyle {\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bin ich mir nicht sicher. Eigentlich divergiert das doch, oder? Wenn dieser Teil aber divergiert, divergiert dann der gesamte Imaginärteil oder konvergiert er gegen 0?

Wäre für eine einfache Antwort dankbar!

oh ok, wäre ja zu einfach gewesen! Ich versuch es nochmal.

Vielen Dank