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Konvergenz einer komplexen Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

PhysikKatze aktiv_icon

19:14 Uhr, 30.11.2022

Hallo!

Ich bräuchte etwas Hilfe bei einer Aufgabe :-)

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n = 1}^{inf} \frac{i^{n}}{n}

Wir haben leider nicht wirklich über komplexe Reihen in der Vorlesung gesprochen; ich weiß nicht ganz wie ich vorgehen soll. Kann mir jemand weiterhelfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Punov aktiv_icon

20:23 Uhr, 30.11.2022

Hallo, PhysikKatze!

Hast du es mal mit dem Quotientenkriterium probiert? Damit geht's recht schnell.

Viele Grüße

PhysikKatze aktiv_icon

20:47 Uhr, 30.11.2022

Vielen Dank, das klappt! :-)

HAL9000

21:02 Uhr, 30.11.2022

Zum Reihenwert: Taylorreihe

- \ln (1 - z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}

konvergiert absolut für alle komplexen

∣ z ∣ < 1

, aber konvergiert auch noch für alle

z \neq 1

mit

∣ z ∣ = 1

.

Speziell also auch für

z = i

, d.h., es ist

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n} = - \ln (1 - i) = - \frac{1}{2} \ln (2) + \frac{π}{4} i

.

P.S.: Quotientenkriterium liefert an sich keine Entscheidung hier.

Punov aktiv_icon

23:23 Uhr, 30.11.2022

Oh, ich meinte natürlich das Leibnizkriterium!!
Das kommt davon, wenn man zuerst intuitiv ans Quotientenkriterium denkt, dann feststellt, dass es hier keine Konvergenzaussage liefert und aber parallel schon getippt hat. Sorry!

Also, was ich eigentlich meinte:

Die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n}

konvergiert genau dann (gegen

z \in ℂ

), wenn die Reihen

\sum_{n = 1}^{\infty} ℜ (\frac{i^{n}}{n})

und

\sum_{n = 1}^{\infty} ℑ (\frac{i^{n}}{n})

konvergieren (und zwar gegen

ℜ (z)

bzw.

ℑ (z)

, aber nach dem konkreten Grenzwert war hier nicht gefragt, wenngleich es natürlich schön ist, ihn zu bestimmen).

Nun gilt

\sum_{n = 1}^{\infty} ℜ (\frac{i^{n}}{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{2 n}

sowie

\sum_{n = 1}^{\infty} ℑ (\frac{i^{n}}{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{2 n + 1}

und beide Reihen konvergieren (Leibnizkriterium).

Viele Grüße und danke @HAL9000, dass du auf meinen dummen Flüchtigkeitsfehler aufmerksam gemacht hast.

HAL9000

08:31 Uhr, 01.12.2022

Ohne Aufsplittung in Real- und Imaginärteil, und auch ohne konkrete Reihenwertberechnung kann man die Konvergenz begründen mit dem

de.wikipedia.org/wiki/Kriterium_von_Dirichlet

einer Art Verallgemeinerung des Leibnizkriterium, welches (wie auch hier) besonders nützlich ist für die Begründung der Konvergenz auf dem Rand des Konvergenzkreises vieler Potenzreihen.

calc007

09:05 Uhr, 02.12.2022

...oder sehr anschaulich, indem du dir mal die ersten

10

oder

20

Glieder vor Augen führst:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n} = \frac{i}{1} + \frac{- 1}{2} + \frac{- i}{3} + \frac{1}{4} + ...

= i \cdot (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ...) + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{8} ...)

= - i \cdot \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{m}}{2 \cdot m - 1}

. . . . .

+

. . . . .

\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{m}}{2 \cdot m}

Nachsatz: ein Roman wird wahrscheinlich wieder naserümpfend meckern, dass in der letzten Zeile Pünktchen stehen, wo sie nicht hin gehören.
Wenn irgendjemand mir Tipps hat, wie man in diesem Sch..Editor zur Übersicht ein wenig Abstände schafft ohne Pünktchen, dann gerne her damit.

HAL9000

09:09 Uhr, 02.12.2022

a = b + c

mit "~",

a = b + c

mit "\quad",

a = b + c

mit "\qquad".

calc007

09:10 Uhr, 02.12.2022

Danke, guter Tipp!

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