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Konvergenz einer rekursiven Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

pflaume9

20:28 Uhr, 08.07.2019

In der folgenden Aufgabe möchte ich wissen, ob es in meiner Argumentation Lücken gibt, die ich noch füllen sollte.

Gegeben sei die rekursive Folge

a_{0} := 1

und

a_{n + 1} = \frac{7}{4 a_{n}} - 4

1. Zeigen Sie, dass die Folge mindestens eine Häufungspunkt besitzt.
2. Bestimmen Sie die Fixpunkte und argumentieren Sie, welche Fixpunkte Kandidaten für den Grenzwert sind.
3. Zeigen Sie, dass die Folge für

a_{0} := 1

gegen einen Fixpunkt konvergiert.

Zu 1.

a_{0} = 1

a_{1} \approx - 2,25

a_{2} \approx - 4,78

a_{3} \approx - 4,37

a_{4} \approx - 4,06

a_{3} < - 4 \Rightarrow 0 < \frac{1}{4 a_{n}} < - 1 \forall n \geq 3 \Rightarrow \frac{1}{4 a_{n}} - 4 > - 1 - 4 = - 5

und

\frac{1}{4 a_{n}} - 4 < 0 - 4 = - 4

Die Folge ist also beschränkt mit

- 5 < a_{n} < - 4

. Nach Bolzano-Weierstraß besitzt sie mindestens einen Häufungspunkt.

Zu 2.

a = \frac{7}{4 a} - 4 \Leftrightarrow a \approx - 4,398

oder

a \approx 0,398 \notin (- 5, - 4) \Rightarrow

nur

- 4,398

als möglicher Kandidat

Zu 3.

Zu zeigen:

\forall ε > 0 \exists N (ε)

mit

| a_{n + 1} - a | < ε \forall n > N (ε)

| a_{n + 1} - a | = | \frac{7}{4 a_{n}} - 4 - (\frac{7}{4 a} - 4) | = \frac{7}{4} | \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a} | = \frac{7}{4} | \frac{1}{a} | | \frac{1}{a_{n}} | | a_{n} - a |

= {(\frac{7}{4 | a |})}^{n + 1} (\prod_{i = 0}^{n} \frac{1}{| a_{i} |}) | a_{0} - a |

(Die letzte Umformung hab ich noch nicht so ganz gerafft.)

Betrachtung der einzelenen Faktoren:

| a_{0} - a | = | - 0,1 - (- 4,398) | \Rightarrow

Konstante

\frac{7}{4 | a |} < 1 \Rightarrow lim_{n \to \infty} {(\frac{7}{4 | a |})}^{n + 1} = 0

für

n \geq 3

ist

\frac{1}{| a_{i} |} < 1 \Rightarrow lim_{n \to \infty} \prod_{i = 0}^{n} \frac{1}{| a_{i} |} \in [0,1]

\Rightarrow

Folge konvergiert gegen den Fixpunkt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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michaL aktiv_icon

11:11 Uhr, 09.07.2019

Hallo,

wie lautet denn nun die Rekursionsvorschrift?

a_{n + 1} = \frac{7}{4 a_{n}} - 4

?
Dann hast du das bei der Abschätzung vergessen!

Behauptung:

\forall n \geq 2

- 5 \leq a_{n} \leq - 4

(bzw.

∣ a_{n} - 4, 5 ∣ \leq \frac{1}{2}

)
I.Anfang:

a_{2} = - 4, \overline{7}

ok
I.Schluss:

\frac{7}{4 a_{n}} - 4 \geq \frac{7}{4 \cdot (- 4)} - 4 = - 4 \frac{7}{16} > - 5

und

\frac{7}{4 a_{n}} - 4 \leq \frac{7}{4 \cdot (- 5)} - 4 = - 4 \frac{7}{20} < - 4

Also tatsächlich beschränkt und damit Häufungspunkt(e) aufweisend.

Alternativ kannst du noch beweisen, dass die Teilfolge der geraden Indices, aber auch die der ungeraden Indices, monoton fallend (bzw. für die ungeraden Indices monoton steigend) ist für

n \geq 2

a_{n + 2} = \frac{7}{4 a_{n + 1}} - 4 = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 a_{n}} - 4)} - 4 = \frac{7}{\frac{7}{a_{n}} - 16} - 4 = \frac{7}{\frac{7 - 16 a_{n}}{a_{n}}} - 4 = 7 \frac{a_{n}}{7 - 16 a_{n}} - 4 = \frac{7}{16} \frac{16 a_{n} - 7 + 7}{7 - 16 a_{n}} - 4

= - \frac{7}{16} - 4 + \frac{7}{7 - 16 a_{n}} = - \frac{71}{16} + \frac{7}{7 - 16 a_{n}}

Gilt

a_{n_{0}} {\begin{array}{c} \leq \\ \geq \end{array}} a_{n_{0} + 2}

, so allgemein auch

a_{n} {\begin{array}{c} \leq \\ \geq \end{array}} a_{n + 2}

, womit die Konvergenz der Teilfolgen bewiesen ist.

Vorteil wäre, dass damit schon die Konvergenz gezeigt ist.

Beide Teilfolgen konvergieren damit gegen einen Fixpunkt

a

der neuen Rekursionsgleichung:

a = - \frac{71}{16} + \frac{7}{7 - 16 a}

Klar ist: Jeder Fixpunkt der alten Gleichung ist auch einer der neuen: Gilt

x = f (x)

, so auch

f (f (x)) = f (x) = x

.

Du müsstest damit nur schauen, dass entweder kein neuer Fixpunkt hinzu gekommen ist oder neue aufgrund der Einschränkung

\in [- 5, - 4]

ausscheiden.

Zu 3.:
Ist

∣ a_{n + 1} - a ∣ = \frac{7}{4} \frac{1}{a_{n}} \frac{1}{a} ∣ a_{n} - a ∣

noch klar?
Dann wende diese Gleichung mit dem um eines verringerten Index an!
Du siehst(?), dass für jede Verringerung des Index der Faktor

\frac{7}{4} \frac{1}{a}

hinzu kommt und außerdem der Faktor

\frac{1}{a_{x}}

, wobei

x

der um 1 verringerte Index des Ausgangsindex' ist.
Am besten "siehst" du die Gültigkeit der Formel, wenn du den vorherigen Schritt nch ein-/zweimal durchführst.

Ich finde diese Art der Argumentation allerdings sehr mühselig. Der von mir angedeutete Weg erscheint mir einfacher.

Du schreibst:
> ob es in meiner Argumentation Lücken gibt, [...]
Aber auch:
> (Die letzte Umformung hab ich noch nicht so ganz gerafft.)

Kann es sein, dass du dich mit fremden Federn schmückst?

Mfg Michael

pflaume9

11:49 Uhr, 09.07.2019

Erstmal danke für die ausführliche Antwort!

>wobei

x

der um 1 verringerte Index des Ausgangsindex' ist.

Ah ok. Also kommen pro Faktor jeweils

n + 1

Faktoren hinzu.

>Kann es sein, dass du dich mit fremden Federn schmückst?

Ja so ziemlich. Hab mir die Lösung bei einer Beispielaufgabe angeschaut und dann auf einer neuen versucht anzuwenden. Größte Probleme hatte ich wie gesagt bei der letzten Umformung in Teil

3,

da ich mir zum einen nicht sicher war, wie weit ich mit dem

a_{n}

"zurückgehen" durfte und zum anderen, wie der Term überhaupt Zustande kommt.

Die Beschränktheit mittels Induktion zu beweisen hat unser Prof beim Vorrechnen der Probeklausur nicht gemacht. Deshalb denke ich wird das in der richtigen Klausur auch nicht nötig sein. Aber trotzdem danke!

2 Fragen hätte ich noch:

1. Ist es egal ob ich das Intervall

[- 5, - 4]

oder

(- 5, - 4)

wähle?
2. Ist es egal ob ich die Beschränktheit für

n \geq 3

oder

n \geq 2

zeige? (jetzt in diesem Fall)

michaL aktiv_icon

13:00 Uhr, 09.07.2019

Hallo,

> 1. Ist es egal ob ich das Intervall [−5,−4] oder (−5,−4) wähle?

Grundsätzlich ja. Die Grenzen hinzuzunehmen ist nur der Faulheit (meinerseits) geschuldet, mir kein Gedanken machen zu wollen, ob die Grenzen dazu gehören könnten.

> 2. Ist es egal ob ich die Beschränktheit für n≥3 oder n≥2 zeige? (jetzt in diesem Fall)

Ja, ist der hintere Teil einer Folge konvergent, so ist es doch auch die ganze Folge. Der Anfang interessiert bei Konvergenz nicht.

Mfg Michael

PS:

> Die Beschränktheit mittels Induktion zu beweisen hat unser Prof beim Vorrechnen der Probeklausur nicht
> gemacht.

Wenn dies die Aufzeichnungen deines Profs sind, dann doch. Die Zeilen
> a 3 < − 4 ⇒ 0 < 1 4 a n < − 1 ∀ n ≥ 3 ⇒ 1 4 a n − 4 > − 1 − 4 = − 5
> a3<−4⇒0<14an<−1∀n≥3⇒14an−4>−1−4=−5 und 1 4 a n − 4 < 0 − 4 = − 4 14an−4<0−4=−4

stellen im Prinzip den Induktionsschluss dar. Dafür müsste man

3

durch

n

und

4

durch

n + 1

ersetzen. Der Anfang steht in den Berechnungen darüber.

pflaume9

13:55 Uhr, 09.07.2019

>Wenn dies die Aufzeichnungen deines Profs sind, dann doch.

Danke für den Hinweis. Würde jetzt natürlich mehr Schreibarbeit bedeuten, aber hilft ja nix.

cekk2123 aktiv_icon

13:25 Uhr, 23.07.2019

Das ist eine schwere Lektion. Ich brauche viel Zeit, um es zu lösen.

[

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HAL9000

14:19 Uhr, 23.07.2019

Ist zwar schon etwas angegilbt der Thread, aber da ich ihn zum erstem Mal lese dann doch noch eine Anmerkung zu 2):

Bevor es ans Runden geht, würde ich die beiden Fixpunkte als Lösung der quadratischen Gleichung doch bitte EXAKT angeben, d.h.

- 2 \pm \frac{\sqrt{23}}{2}

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