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Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, äquivalenzen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Konvergenz, L^2, Wahrscheinlichkeit

Fabienne- aktiv_icon

23:23 Uhr, 16.01.2016

Hallo,

ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Seien

A_1, A_2, . . . \ s u b s e t \ O m e g a

messbare Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum

(\ O m e g a, \ m a t h c a l {F}, \ m a t h b b {P})

. Zeigen Sie, dass die drei folgenden Aussagen äquivalent sind:

a)

1_{A_n} \ s t a c k r e l {P} {\ t o}_{n \ t o \ i n f t y} 0

(in Wahrscheinlichkeit)

b)

\ l i m_{n \ t o \ i n f t y} \ m a t h b b {P} (A_n) = 0

1_{A_n} \ s t a c k r e l {L^2} {\ t o}_{n \ t o \ i n f t y} 0

(in L^2)

1_{A_n}

soll ich charakteristische Funktion von

A_n

bezeichnen.

Ich möchte es über einen Ringschluss machen, also

a) \ R i g h t a r r o w b)

b) \ R i g h t a r r o w c)

c) \ R i g h t a r r o w a)

.

Zu

a) \ R i g h t a r r o w b)

:

Wir haben Konvergenz in Wahrscheinlichkeit für Zufallsvariablen definiert und nicht für messbare Ereignisse. Spielt das eine Rolle?

Wenn ich also die Definition ausnutze, dann gilt wegen

1_{A_n} \ s t a c k r e l {P} {\ t o}_{n \ t o \ i n f t y} 0

, dass für alle

\ e p s i l o n > 0

gilt

\ l i m_{n \ t o \ i n f t y} P (| 1_{A_n} - 0 | > \ e p s i l o n) = 0

Also

\ l i m_{n \ t o \ i n f t y} P (1_{A_n} > \ e p s i l o n)

für alle

\ e p s i l o n > 0

Nun ist

1_{A_n} (x) = 1

wenn

x \ i n A_n

und

1_{A_n} (x) = 0

wenn

x \ n o t i n A_n

.

Und hier habe ich nun ein Verständnisproblem was die Definition betrifft.
Wenn

x \ i n A_n

, dann ist

1_{A_n} (x) = 1

. Dann gilt

1_{A_n} > \ e p s i l o n

aber nicht für alle

\ e p s i l o n > 0

Und wenn

x \ n o t i n A_n

dann ist

1_{A_n} (x) = 0

aber dann hätte ich ja sowas wie 0>\epsilon für alle

\ e p s i l o n > 0

und das macht keinen Sinn...

Was verstehe ich hier falsch?

Über eine Erklärung würde ich mich sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:58 Uhr, 18.01.2016

"Wir haben Konvergenz in Wahrscheinlichkeit für Zufallsvariablen definiert und nicht für messbare Ereignisse."

1_{A_{n}}

ist eine Zufallsvariable und kein Ereignis.

A_{n}

ist ein Ereignis.

Für jedes

ε \in (0, 1)

gilt

P (∣ 1_{A_{n}} ∣ > ε) = P (1_{A_{n}} = 1) = P (A_{n})

nach Definition von

1_{A_{n}}

(ich habe hier ausgenutzt, dass

1_{A_{n}}

nur die Werte

0

und

1

annehmen kann).

Fabienne- aktiv_icon

11:23 Uhr, 18.01.2016

Wieso kannst du

ε \in (0, 1)

wählen? Der Rest ist dann klar.

Oh, natürlich ist

1_{A_{n}}

eine Zufallsvariable, da es ja eine Funktion ist...
Danke.

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 18.01.2016

"Wieso kannst du wählen?"

Bei der Konvergenz spielen nur kleine Werte von

ε

eine Rolle, daher kann ich immer o.E.d.A.

ε

aus dem endlichen Bereich

(0, a)

nehmen.
Im Prinzip kannst Du auch ohne diese Einschränkung arbeiten, musst dann nur eine Fallunterscheidung machen (

P (∣ 1_{A_{n}} ∣ > ε) = 0

für

ε \geq 1

Fabienne- aktiv_icon

11:41 Uhr, 18.01.2016

Danke.

Dann zu

b) \Rightarrow c)

Zeigen muss ich, dass

lim_{n \to \infty} ∣ ∣ 1_{A_{n}} ∣ ∣_{2} = 0

gilt.

Zeigen muss ich doch nun:

lim_{n \to \infty} (E [1_{A_{n}}^{2}])^{1 / 2} = 0

DrBoogie aktiv_icon

11:43 Uhr, 18.01.2016

Ja, wobei ereicht auch ohne Wurzel. Und

1_{A_{n}}^{2} = 1_{A_{n}}

. Daher ist es einfach.

Fabienne- aktiv_icon

11:50 Uhr, 18.01.2016

Genau, weil

1_{A_{n}}^{2} = 1_{A_{n}}

und wegen

lim_{n \to \infty} P [A_{n}] = 0

ist

1_{A_{n}} = 0

für fast alle

a \in A_{n}

. Also

lim_{n \to \infty} E (1_{A_{n}}) = 0

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