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Konvergenz mit Randwertbetrachtung

Universität / Fachhochschule

Tags: Konvergenz, Konvergenzradius, reih

Connor1 aktiv_icon

00:55 Uhr, 03.03.2018

Hallo zusammen,

ich versuche mich gerade an eine Klausuraufgabe zur Konvergenz und wollte fragen ob die Rechnung so stimmt.
Die Aufgabe ist im Anhang.

\sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{k^{2} + 2 k}{2 k} - {(\frac{1}{2})}^{k} x^{k} =

\sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{k^{2} + 2 k}{2 k} \cdot {(- \frac{1}{2} x)}^{k}

Substituiere

y = - \frac{1}{2} x

R = lim_{k \to \infty} | \frac{a_{k}}{a_{k + 1}} |

= lim_{k \to \infty} \frac{k^{2} + 2 k}{2 k} \cdot \frac{(2 k + 2)}{{(k + 1)}^{2} + (2 k + 2)}

= lim_{k \to \infty} \frac{k^{2} (2 k + 2) + 2 k (2 k + 2)}{{(k + 1)}^{2} 2 k + 2 k (2 k + 2)} = 1

(kürzen)

\Rightarrow - 1 < - \frac{1}{2} x < 1

\Rightarrow x \in (- 2,2)

Randwertbetrachtung:

x = - 2

\sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{k^{2} + 2 k}{2 k} \cdot {(- \frac{1}{2} \cdot - 2)}^{k}

= \sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{k^{2} + 2 k}{2 k} = \sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{k^{2} (1 + \frac{2}{k})}{k^{2} (\frac{2}{k})} = \infty \Rightarrow

divergent

analog

x = 2

\sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{k^{2} + 2 k}{2 k} \cdot {(- 1)}^{k} = \frac{+}{-} \infty \Rightarrow

divergent.

A . :

Die Reihe konvergiert für alle

x \in (- 2,2)

Habe ich hier einen Fehler drin?

Ich bin für jede Hilfe dankbar :-)

Gruß
Connor

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Connor1 aktiv_icon

00:57 Uhr, 03.03.2018

Das = nach der summe muss natürlich weg sein... ups

Roman-22

09:47 Uhr, 03.03.2018

Die Betrachtung dieser Reihe hätte man gleich von Beginn an unterlassen können, da sie für kein

x

auswertbar ist. Für

k = 0

stellt sich doch immer eine Division durch 0 ein!

Wenn man über diesen Angabefehler (wenn die Aufgabe nur wenige Punkte Wert ist, wars vl sogar Absicht!?) hinweg sieht, indem man entweder die Summe erst ab

k = 1

laufen lässt oder aber die Summanden vorweg durch

k

kürzt (was man für

k = 0

eben nicht machen dürfte), kann man deine Rechnung als vollkommen richtig, wenngleich ein wenig zu aufwändig, ansehen.

Allerdings gehts einfacher. Kürzen von

k

und zusammenfassen ergibt

\sum_{k = 0}^{\infty} [{(- 1)}^{k} \cdot \frac{k + 1}{2^{k + 1}} \cdot x^{k}]

. Die Substitution, die du vorgenommen hast, ist nun nicht unbedingt nötig. Das alternierende Vorzeichen

{(- 1)}^{k}

spielt für die Berechnung des Konvergenzradius wegen der dort verwendeten Betragsfunktion keine Rolle und der Grenzwert

r = lim_{k \to \infty} | \frac{a_{k}}{a_{k + 1}} | = lim_{k \to \infty} \frac{2 \cdot (k + 1)}{k + 2} = 2

lässt sich leicht bestimmen.
Dass an den Rändern

x = \pm 2

keine Konvergenz vorliegt folgt schnell daraus, dass die da auftretenden Summanden

\frac{k + 1}{2}

keine Nullfolge bilden. Egal ob mit alternierenden Vorzeichen (für

x = 2)

oder ohne (für

x = - 2)

Connor1 aktiv_icon

19:04 Uhr, 03.03.2018

Man hat für die Aufgabe in der Tat nur wenig Punkte erhalten :-)

Dafür war meine Rechnung wirklich zu zeitaufwändig.

Vielen Dank für deine Tipps! Das erspart mir sehr viel Zeit.

Nochmals vielen Dank für deine Hilfe ! :-D)

Gruß

Connor

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