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Konvergenz uneigentlicher Integrale

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Folgen und Reihen

Integration

Tags: Folgen und Reihen, Integration

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16:46 Uhr, 22.05.2017

Hallo zusammen!

Ich habe drei Integrale:

1 .) \int_{0}^{\infty} x^{2} \cdot e^{- x} d x

2 .) \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x (1 + x)} d x

3 .) \int_{0}^{1} \frac{sin (x)}{x^{k}} d x

wobei

k

aus dem Intervall

(0,1)

stammt.

Nun soll ich testen, ob diese umeigentlichen Integrale konvergent sind (bedingt/absolut) und ggf. das Integral berechnen.

Wie ich uneigentliche Integrale berechne ist mir eigentlich klar, wie ich aber die Konvergenz zeige, eher weniger. Meine Idee:

Zu

1 .)

zweimalige Partielle Integration liefert:

\int_{0}^{n} x^{2} \cdot e^{- x} d x = - \frac{n^{2}}{e^{n}} - 2 \frac{n}{2^{n}} - \frac{2}{e^{n}} + 2 = 2

für

n \to \infty

Wie aber kann ich zeigen, dass

- \frac{n^{2}}{e^{n}} \to 0

für

n \to \infty

und dass das Integral überhaupt konvergiert? Ich vermute, dass ich eine Majorante finden muss, ich wüsste aber nicht, welche hier sinnvoll ist (die, die ich kenne, sind hier nicht von Nutzen)

Zu

2 .) | \frac{1}{x (1 + x)} | \leq | \frac{1}{x^{2}} |

und ich weiß, dass

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}

konvergiert. Also konvergiert mein Integral absolut mit dem Grenzwert:

\int_{1}^{n} \frac{1}{x (1 + x)} d x = - ln | \frac{1}{n} + 1 | + ln (2) = ln (2)

für

n \to \infty

Stimm meine Begründung so?

Zu

3 .) \int_{0}^{1} \frac{sin (x)}{x^{k}} d x (k

ist aus dem Intervall

(0,1))

Ich kenn die Majorante

: \frac{sin (x)}{x^{k}} \leq \frac{1}{x^{k}}

und

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{k}} = \frac{1}{1 - k}

konvergiert. Aber wie kann ich hier das Integral ausrechnen? Mit partieller Integration und Substitution komm ich nicht weit…

Hoffe, jemand kann mir eine kleine Hilfe geben. Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:52 Uhr, 22.05.2017

"Wie aber kann ich zeigen, dass"

Übergang von

n

x

(reell) und dann L'Hospital.

"für und dass das Integral überhaupt konvergiert?"

Welches Integral? Uneigentliches? Das zeigt Du gerade dadurch, dass Du den Grenzwert berechnest.

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16:55 Uhr, 22.05.2017

"Stimm meine Begründung so?"

Ja.

"Aber wie kann ich hier das Integral ausrechnen?"

Bist Du sicher, dass Du das musst?

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16:57 Uhr, 22.05.2017

Hallo DrBoogie,

Danke für den Tipp mit L'Hospital!
In der Vorlesung wurde uns gesagt, dass wir das umeigentliche Integral erst dann so berechnen dürfen, wenn wir gezeigt haben, dass das Integral konvergiert, da erst dann das Integral mit dem Limes vertauscht werden darf.
Also müsste ich erst auf anderem Wege zeigen, dass das Integral konvergiert, oder?

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16:59 Uhr, 22.05.2017

Also die Aufgabe ist, den Wert des Integrals anzugeben falls eine Stammfunktion existiert. Ist das bei sinx/x^k evtl. der Fall?

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17:19 Uhr, 22.05.2017

"In der Vorlesung wurde uns gesagt, dass wir das umeigentliche Integral erst dann so berechnen dürfen, wenn wir gezeigt haben, dass das Integral konvergiert, da erst dann das Integral mit dem Limes vertauscht werden darf."

So? Wie so?

Konvergenz vom Integral

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

ist per Definition die Aussage

\int_{0}^{n} f (x) d x \to a

bei

n \to \infty

(

a

ein endlicher Wert). Genau das zeigst Du auch.

Der Übergang von

n

x

bei

\frac{n^{2}}{e^{n}}

hat mit der Integration überhaupt nicht zu tun, dass ist eine kleine extra Aufgabe. Der ist auch trivialerweise sauber, denn Du beweist einfach eine allgemeinere Aussage.

Und Du tauschst an keiner Stelle Limes mit Integral.

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17:21 Uhr, 22.05.2017

"Ist das bei sinx/x^k evtl. der Fall?"

Nein, die Stammfunktion lässt sich nicht durch Elementarfunktionen ausdrücken.

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17:31 Uhr, 22.05.2017

Ok gut, wie aber kann ich dann zwischen bedingter und absoluter Konvergenz unterschieden?

Das zweite Integral müsste meines Erachtens absolut konvergent sein, da ich ja als Majorante

\frac{1}{x^{2}}

habe und

| \frac{1}{x (1 + x)} | \leq | \frac{1}{x^{2}} |

.

Beim ersten aber finde ich keine Majorane. gibt es einen Ausdruck der

\geq x^{2} \cdot e^{- x}

ist und der (von 0 bis

\infty)

integriert konvergiert?

Und beim dritten Integral glaube ich, dass das nur bedingt konvergent ist, da zu

| \frac{sin (x)}{x^{k}} |

keine konvergente Majorante gefunden werden kann. (zumindest weiß ich dass für

| \frac{sin (x)}{x} |,

denn da gilt:

| \frac{sin (x)}{x} | \geq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + 1}

Kann ich das auch für

| \frac{sin (x)}{x^{k}} |

zeigen?

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17:37 Uhr, 22.05.2017

Beim 1. und 2. ist die Konvergenz absolut, da alle Werte nichtnegativ sind.

Absolute Konvergenz hat zuerst mal nichts mit Majoranten zu tun, daher brauchst Du da keine Majoranten (bzw. kannst Du die Funktionen als Majoranten von sich selber nehmen).

Im 3. Fall kann die Funktion auch negative Werte annehmen.
Allerdings ist im 3. Fall das Integral nicht wirklich uneigentlich, denn die Funktion

\frac{\sin (x)}{x^{k}}

hat einen endlichen Grenzwert in

0

und ist da stetig fortsetzbar, das sieht man wieder mit L'Hospital. Daher ist das Integral ein gewöhnliches Integral einer stetigen Funktion.

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19:19 Uhr, 22.05.2017

Ok, danke! Dann hätte ich die Integrale 1 und 2 soweit verstanden.

Nur beim letzen Integral: Wie könnte ich das sorgfältig aufschreiben?
Wir haben festgestellt, dass das Integral bedingt konvergent ist und dass man es nicht algebraisch lösen kann.
Kann ich diese beiden Aussagen auch rechnerisch zeigen?
Tut mir leid, das ich so häufig nachfrage, aber diese Beispiel ist mir etwas suspekt...

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19:25 Uhr, 22.05.2017

Man kann mit L'Hospitel zeigen, dass der Grenzwert in

0

existiert (

= 0

), daher ist die Funktion stetig fortsetzbar in

0

(durch den Wert

0

) und das Integral ist also gar kein uneigentliches Integral, sondern ein ganz normales Integral. Daher entfällt die Frage nach Konvergenz.
Es ist also nicht "bedingt konvergent".

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17:27 Uhr, 23.05.2017

Hallo nochmal,

ich habe mir das jetzt nochmal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen, und habe es, glaube ich, einigermaßen verstanden. Was mich nur noch etwas irritiert: Dieses Integral (mit dem Sinus) wurde mir in einer Aufgabe gestellt, wo es gerade um das Konvergenzverhalten uneigentlicher Integrale geht. Nehmen wir an, ich dürfe das Integral nicht stetig vorsetzen, sodass es uneigentlich bleibt. Könnte ich hier so dennoch etwas über die Konvergenz des Integrals aussagen? Evtl. könnte ich folgendes Beispiel dazu verwenden:
Das Integral

\int_{π}^{\infty}

sinx/x

d x

ist nur bedingt konvergent, da zwar der Grenzwert

\int_{π}^{\infty}

sinx/x

d x

existiert, das Integral

\int_{π}^{\infty}

|sinx/x|

d x

jedoch durch die divergierende harmonische Reihe nach unten abgeschätzt werden kann.
Ich muss entweder das Majorantenkriterium, das Integralvergleichskriterium oder die Definition der absoluten Integrierbarkeit in dieser Aufgabe anwenden.

Vielleicht findest Du nochmal kurz Zeit, dieses Problem in dieser Sichtweise anzuschauen. Vielen lieben Dank!

DrBoogie aktiv_icon

17:37 Uhr, 23.05.2017

"Könnte ich hier so dennoch etwas über die Konvergenz des Integrals aussagen?"

Du kannst auch in diesem Fall

\int_{a}^{1} \frac{\sin (x)}{x^{k}} d x

geschickt abschätzen und dann

a \to 0

laufen lassen und wirst sehen, dass der Grenzwert existiert.
Nur ist das unnötig kompliziert.

"Evtl. könnte ich folgendes Beispiel dazu verwenden:"

Nein, sie haben miteinander nichts zu tun.
In diesem Beispiel hast Du in Unendlichkeit einen oszillierenden (durch Sinus) Abfall. Diese Oszillationen führen dazu, dass es nur bedingte Konvergenz gibt.
In der Originalaufgabe hast Du nichts oszillierendes, Sinus ist auf

[0, 1]

sogar streng monoton. Also ganz andere Situation.

Blackparrot aktiv_icon

19:28 Uhr, 23.05.2017

Ich würde das Sinus-Integral gerne über eine Abschätzung auf Konvergenz prüfen.

Die einzige Majorane von denen, die ich kenne, die hier passen könnte, ist

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{a}} d x

für

0 < a < 1 :

\int_{0}^{1} | \frac{sin (x)}{x^{a}} | d x \leq \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{a}} d x = \frac{1}{1 - a}

für alle

x

aus

[0,1]

(da ja

| sin (x) | \leq 1

und

| x^{a} | \leq x^{a}

für alle

x

aus

[0,1]

und

0 < a < 1)

Und damit wäre das Integral doch absolut uneigentlich konvergent, oder?

DrBoogie aktiv_icon

20:15 Uhr, 23.05.2017

Ja, das kann man wohl auch so sagen.

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