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Konvergenz von 1/k^2 beweisen

Universität / Fachhochschule

13:21 Uhr, 27.01.2013

Hallo,

wie beweise ich die Konvergenz der Reihen: $\frac{1}{k^{2}}$ und $\frac{1}{k^{3}}$

wäre echt klasse.

danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

13:46 Uhr, 27.01.2013

Hallo,

betrachte für beide die konvergente Majorante

\sum \frac{1}{k (k - 1)}

.

Natürlich musst du dafür deren Konvergenz beweisen. Diese ist aber eine Teleskopreihe!

Mfg Michael

anonymous

13:56 Uhr, 27.01.2013

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

konvergent ?

n > n - 1 \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{n - 1}

für

n = 2, 3, 4, . .

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} < 1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1}

Die Reihe

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1}

ist aber konvergent, da ihre Partialsumme

s_{n} = \frac{n - 1}{n} (

mit vollständiger Induktion beweisen )mit Grenzwert 1 ist

\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < 2

konvergent

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

ist die "hyperharmonische Reihe" mit Grenzwert

\frac{π^{2}}{6}

.
Bei

\frac{1}{n^{3}}

schätzt man gegen

\frac{1}{n^{2}}

ab.

14:37 Uhr, 27.01.2013

vielen dank für die ausführliche Erklärung

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