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Konvergenz von Funktionenreihen

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, gleichmäßige Konvergenz, Punktweise Konvergenz

cc-98 aktiv_icon

19:59 Uhr, 13.01.2018

Guten Abend,
mir fehlt zu beiden Aufgaben der Ansatz. Das Majorantenkriterium für Funktionsreihen hat mich leider nicht weitergebracht und dabei eine Grenzfunktion zu finden, sodass |fn(x)-f(x)|<Epsilon gilt, scheitere ich.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

20:41 Uhr, 13.01.2018

Die Summen in Aufgabe

H 31 a)

und

b)

sollen auf punktweise oder gleichmäßige Konvergenz innerhalb der reellen Zahlen untersucht werden.
Du musst also beide Reihen auf punktweise oder gleichmäßige Konvergenz prüfen.
Wie lautet das Kriterium oder die Bedingung für punktweise Konvergenz einer Reihe und wie für gleichmäßige Konvergenz. Der Prof muss das in seinem Skript stehen haben ansonsten googeln.

ermanus aktiv_icon

21:37 Uhr, 13.01.2018

Hallo,
schreibe die Reihen etwas um:

x^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (- \frac{1}{1 + x^{2}})^{n}

bzw.

x^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{1 + x^{2}})^{n}

.

Ich hoffe, dass dich das an die geometrische Reihe erinnert ...

Gruß ermanus

cc-98 aktiv_icon

12:10 Uhr, 14.01.2018

Im Skript steht: „Die Funktionenreihe konvergiert punktweise, wenn für jedes

x \in D

die Funktionenreihe

\sum_{i = 1}^{\infty}

fn(x) konvergiert.“
Das würde ja bedeuten, dass ich jedem

x \in D

einen Reihenwert zuordnen kann, gegen den die Reihe für ein jeweiliges

x

strebt. Mein Ansatz zur punktweisen Konvergenz ist folgender:

x^{2} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{n} = x^{2} \cdot (\frac{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{n + 1}}{1 - (\frac{1}{1 + x^{2}})}) = x^{2} \cdot (\frac{1}{1 - (\frac{1}{1 + x^{2}})}) = 1 + x^{2}

Die Reihe konvergiert also (für

x \in R)

gegen

1 + x^{2} \Rightarrow

Punktweise Konvergenz
Wäre dies soweit richtig?

Wie zeigt oder widerlegt man nun gleichmäßige Konvergenz?

ermanus aktiv_icon

12:19 Uhr, 14.01.2018

Hallo,
bei dem mittleren Ausdruck fehlt der Limes ;-)
Übrigens konvergiert die geometrische Reihe nur für

\frac{1}{1 + x^{2}} < 1

,
d.h.

x \neq 0

. Du musst also eine Fallunterscheidung für

x = 0

und

x \neq 0

machen.

cc-98 aktiv_icon

12:35 Uhr, 14.01.2018

Wenn

x = 0 \Rightarrow x^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{1 + 0^{2}})}^{n} = x^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(1)}^{n}

Für

x = 0

wäre die Geometrische Reihe so wie sie da steht divergent, jedoch steht noch ein

x^{2}

vor dem Summenzeichen, das heißt:

Wenn

x = 0 \Rightarrow 0^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(1)}^{n} = 0

Wenn

x \neq 0 \Rightarrow 1 + x^{2}

ermanus aktiv_icon

13:09 Uhr, 14.01.2018

Ja, du meinst schon das richtige. Aber so kann man es nicht
schreiben; denn du würdest ja damit behaupten, dass

0 \cdot \infty = 0

wäre ...
Wir müssen daher ein bisschen klarere Bezeichnungen einführen, z.B. so:

g_{N} (x) := \sum_{n = 0}^{N} \frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{n}}

und

g (x) := lim_{N \to \infty} g_{N} (x)

für den Fall, dass dieser punktweise Limes existiert.

Für

x \neq 0

gilt dann

g (x) = 1 + x^{2}

x = 0

liefert

g (0) = lim_{N \to \infty} g_{N} (0) = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N} \frac{0^{2}}{(1)^{n}} = lim_{N \to \infty} 0 = 0

.

Also ist die Reihe (b) punktweise konvergent mit Limes

g

.
Ist sie auch gleichmäßig konvergent (gegen ihren punkweisen Limes

g

cc-98 aktiv_icon

14:48 Uhr, 14.01.2018

Meine Grenzfunktion bzw. Summenfunktion

s (x)

ist ja

0,

wenn

x = 0

1 + x^{2},

wenn

x \neq 0

Da die Grenzfunktion bzw. Summenfunktion unstetig ist, behaupte ich, dass die Funktionenreihe nicht gleichmäßig konvergent sein kann. Jedoch weiß ich nicht wie das mathematisch korrekt bergründen soll...

ledum aktiv_icon

12:46 Uhr, 15.01.2018

Hallo
wie wäre es mit

| f_{n} (x) - f_{0} | < ε

für

{x - 0) < δ

? und

n > N_{0}

gibt es das?
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

13:17 Uhr, 15.01.2018

Hallo,
sorry, aber ich fände es hilfreich, wenn nicht ständig neue Namen für die in Rede stehenden
Funktionen benutzt würden. Wie soll man sich denn da verständigen :(

Dass

g

nicht stetig ist, ist offensichtlich;
denn

lim_{x \to 0, x \neq 0} (1 + x^{2}) = 1 \neq 0 = g (0)

.
Für jedes

N \in ℕ

ist

g_{N}

als endliche Summe rationaler Funktionen,
deren Nenner nirgendwo

0

ist, stetig in ganz

ℝ

.
Würde

(g_{N})

gleichmäßig gegen

g

konvergieren, müsste nach einem
einschlägigen Satz aus der Analysis (siehe dein Skript) die Grenzfunktion

g

stetig sein. Also ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.

Gruß ermanus

P.S.: und wie sieht es bei der Aufgabe (a) aus?

cc-98 aktiv_icon

15:11 Uhr, 15.01.2018

Erstmal Danke für die Tipps!

x^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{n} = x^{2} \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1 - {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{n + 1}}{1 - (- \frac{1}{1 + x^{2}})} = (\frac{x^{2}}{1 + \frac{1}{1 + x^{2}}})

= (\frac{x^{2}}{\frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}}) = \frac{x^{2} \cdot (1 + x^{2})}{2 + x^{2}} = \frac{x^{2} + x^{4}}{2 + x^{2}}

Dies ist die Grenzfunktion bzw. die Summenfunktion. Für jedes

x \in ℝ

konvergiert

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{n}}

gegen

\frac{x^{2} + x^{4}}{2 + x^{2}}

\to

punktweise Konvergenz

Muss ich gleichmäßige Konvergenz rechnerisch zeigen oder reicht eine Begründung hinsichtlich dessen, dass die Grenzfunktion stetig ist, wenn ich den Satz verwende den du bei der

b)

erwähnt hast?

ermanus aktiv_icon

16:01 Uhr, 15.01.2018

Hallo,
deine Grenzfunktion habe ich auch. Diese ist offenbar überall stetig.
Leider kann man den von mir zitierten Satz nicht "rückwärts" lesen,
d.h. wir können daraus nicht schließen, dass die Reihe gleichmäßig
konvergiert.

cc-98 aktiv_icon

17:44 Uhr, 15.01.2018

Also muss ich das wohl so zeigen:

\forall ε > 0

existiert ein

n 0 = n 0 (ε),

so dass

| x^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{n} - \frac{x^{2} + x^{4}}{2 + x^{2}} | < ε

für alle

n \geq n 0

und alle

x \in D

gilt.
Wäre dies ein empfehlenswerter Ansatz?

ermanus aktiv_icon

17:50 Uhr, 15.01.2018

Ja durchaus!
Du kannst dir das Leben dadurch vereinfachen, dass du untersuchst, ob

sup_{x \in ℝ} ∣ . . .

hier dein Ausdruck

. . . ∣ \to 0

für

N \to \infty

gilt.

Halt!! Ich sehe gerade einen Fehler in deinem Vorschlag. Es muss natürlich

∣ x^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{N} . . . ∣ < ε

für

N \geq N_{0}

heißen, da du ja die Partialsumme

mit dem Grenzwert vergleichst und nicht den Grenzwert mit dem Grenzwert !

ermanus aktiv_icon

17:59 Uhr, 15.01.2018

Habe meine letzte Antwort gerade noch mal korrigiert !

cc-98 aktiv_icon

18:29 Uhr, 15.01.2018

Okay, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muss ich das so machen:

| x^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{N} {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{n} - \frac{x^{2} + x^{4}}{2 + x^{2}} | = | x^{2} \cdot (\frac{1 - {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1}}{1 - (- \frac{1}{1 + x^{2}})}) - \frac{x^{2} - x^{4}}{2 + x^{2}} | = ... < ε

Aber ich darf

N

ja nicht gegen unendlich laufen lassen, da

| ... |

ja dann sowieso gegen 0 läuft oder?

ermanus aktiv_icon

18:41 Uhr, 15.01.2018

Da hast du vollkommen Recht. Daher würde ich den Ausdruck zunächst einmal auf eine
übersichtlichere Form bringen, dann vielleicht untersuchen, für welche

x

er
besonders hartnäckig ist, also für welche

x

er maximal ist oder wie man eine
obere Schranke finden könnte, die nur von

N

abhängt, aber mit

N \to \infty

gegen Null geht. Ich würde mich nicht mit dem "

ε, N_{0} (ε)

"-Gedöns
rumschlagen ;-)

cc-98 aktiv_icon

18:47 Uhr, 15.01.2018

Okay, also wenn ich mich nicht verechnet habe, bekomme ich folgenden Ausdruck:

| ... | = | \frac{{(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1} (x^{2} - x^{4})}{2 + x^{2}} |

Wie würde ich nun weiter machen?

ermanus aktiv_icon

18:53 Uhr, 15.01.2018

Also ich habe

∣ \frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{N} (2 + x^{2})} ∣

heraus. Das scheint nicht das Gleiche zu sein ?
Lass uns beide das nochmal rechnen. Bin aber erst wieder in ca. 1/2 Stunde wieder da.

ermanus aktiv_icon

18:59 Uhr, 15.01.2018

Ah, ich glaube du hast in deinem Post von 18:29 im Ausdruck nach dem ersten
Gleichheitszeichen im hinteren Bruch aus einem "+" ein "-" gemacht
und das hat sich wohl vererbt ...

cc-98 aktiv_icon

19:28 Uhr, 15.01.2018

Also ich habe folgendes gemacht:

| x^{2} \cdot (\frac{1 - {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1}}{1 - (- \frac{1}{1 + x^{2}})}) - (\frac{x^{2} + x^{4}}{2 + x^{2}}) | = | x^{2} \cdot (\frac{1 - {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - (- \frac{1}{1 + x^{2}})}) - (\frac{x^{2} + x^{4}}{2 + x^{2}}) |

= | x^{2} \cdot (\frac{1 - {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1}}{\frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}}) - (\frac{x^{2} + x^{4}}{2 + x^{2}}) |

= | (\frac{x^{2} - x^{2} {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1} + x^{4} - x^{4} {(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1}}{2 + x^{2}} - \frac{x^{2} - x^{4}}{2 + x^{2}})

= | \frac{{(- \frac{1}{1 + x^{2}})}^{N + 1} (- x^{2} - x^{4})}{2 + x^{2}} |

ermanus aktiv_icon

19:32 Uhr, 15.01.2018

Ich brauche wohl doch noch ein bisschen länger.
Aber hier hast du einen Plot für

N = 10

für das abzuschätzende
Restglied. Du siehst, dass sich der Graph links und rechts von zwei symmetrisch
liegenden lokalen Maxima asymptotisch der x-Achse nähert. Daher sind diese
lokalen Maxima zugleich globale Maxima. Damit sollte man doch etwas hinbekommen?

ermanus aktiv_icon

19:35 Uhr, 15.01.2018

Ja! Jetzt stimmt das ja mit meinem Ergebnis überein.
Die Minuszeichen fallen weg wegen Betrag.
Der Nenner im Zähler rutscht in den Generalnenner.
Oben kann man

x^{2}

ausklammern und dann den Cofaktor

1 + x^{2}

einmal kürzen :-)

cc-98 aktiv_icon

19:56 Uhr, 15.01.2018

Also sind die Maximas das supremum

| . . |,

die sich für größere

N

immer näher der 0 nähern und wir somit auf
gleichmäßige Konvergenz schließen können?

Oder reicht es aus

N

gegen unendlich laufen zu lassen? Das wäre ja auch

0,

{(1 + x^{2})}^{N}

im Nenner
unendlich groß wird?

ermanus aktiv_icon

20:07 Uhr, 15.01.2018

Leider können wir das so nicht machen; denn dann haben wir immer noch
eine Abhängigkeit des Nullwerdens vom jeweiligen

x

.

Aber wir können folgendes überlegen (Da hier nur positive Größen auftauchen, lass
ich die Betragsstriche mal weg):

\frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{N} (2 + x^{2})} \leq \frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{N}}

.

Ich mache das, um die Maxima durch Ableiten zu finden, und der rechte Ausdruck
ist sehr viel angenehmer abzuleiten ;-)

Wenn das Maximum von diesem Ausdruck für

N

gegen unendlich gegen 0 geht,
geht auch unser Originalrest unabhängig von

x

bei wachsendem

N

gegen Null,
d.h. sozusagen für alle

x \in ℝ

gleichzeitig. Das bedeutet dann ja
gleichmäßige Konvergenz ...

cc-98 aktiv_icon

20:18 Uhr, 15.01.2018

Okay, vielen Dank für die Hilfe! :-D)

ermanus aktiv_icon

21:15 Uhr, 15.01.2018

Um das Maximum von

\frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{N}}

zu bestimmen, kannst du die Sache noch
vereinfachen, indem du für

y := x^{2} \geq 0

das Maximum von

h (y) = \frac{y}{(1 + y)^{N}}

berechnest, das offenbar den selben Maximalwert liefert.
Man hat

h^{ʹ} (y) = \frac{(1 + y)^{N} - y N (1 + y)^{N - 1}}{N e n n e r} = 0 \Rightarrow 1 + y - y N = 0 \Rightarrow y = 1 / (N - 1)

.
Somit ist

max h (y) = \frac{1}{N - 1} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{1}{N - 1}) N} = \frac{1}{N - 1} (1 - \frac{1}{N})^{N} \to ? ? ?

für

N \to \infty

.

Gruß in die Nacht
ermanus

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