Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Konvergenz von Lückenreihen

Konvergenz von Lückenreihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenzradius

jschm aktiv_icon

14:37 Uhr, 22.06.2014

Bestimmen Sie die Konvergenzverhalten der folgenden Potenzreihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} 3^{n}} * z^{n}

Untersuchen Sie auch das Konvergenzverhalten dieser Reihe auf dem Rand ihres Konvergenzkreises

Wie ist vorzugehen?
Mein erster Ansatz war zu unterscheiden zwischen

a_{n} = 0

und

a_{n}

für n=2n, also 1/((4n^2)*3^(2n))
Ist das richtig und wenn ja wie sind die Formeln von Euler bzw. Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius darauf anzuwenden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

23:38 Uhr, 22.06.2014

Ich verstehe Deinen Ansatz nicht.
Den Konvergenzradius kannst Du doch direkt ermittelt, denn
es gilt

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{2} 3^{n}} = lim_{n \to \infty} 3 (\sqrt[n]{n})^{2} = 3 (lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n})^{2} = 3 \cdot 1^{2} = 3

jschm aktiv_icon

14:04 Uhr, 23.06.2014

Danke für die Antwort, dass kann ich soweit nachvollziehen.

Aber wie sieht dann die Sache für

\sum_{i = 0}^{\infty}

4^(n!) * z^(n!) ?

Nach Cauchy Hadamard habe ich 4^((n-1)!) für n->

\infty

\infty

also einen Konvergenzradius von 0, folglich Divergenz.

Ist das korrekt?

DrBoogie aktiv_icon

14:16 Uhr, 23.06.2014

Nein, Konvergenzradius ist

1 / 4

.
Ich verstehe nicht, wie Du die Formel anwendest.

jschm aktiv_icon

14:00 Uhr, 24.06.2014

Ok, für

\sum_{n = 0}^{\infty}

4^(n!) * z^(n! wende ich also Cauchy-Hadamard an:
lim sup 4^((n!)/(n!)) = 4
Also folgt ein Konvergenzradius von 1/4.
Auf dem Rand des Konvergenzkreises konvergiert die Reihe, da