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Konvergenz von Reihe

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

schalkeboy aktiv_icon

21:09 Uhr, 17.06.2015

Gegeben ist eine unendliche Reihe und man soll sie untersuchen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot \frac{{(k!)}^{2}}{(2 k)!}

Nun das riecht sofort nach Leibnizkriterium und somit muss ich

a_{k} = \frac{{(k!)}^{2}}{(2 k)!}

untersuchen ob es eine monoton fallende Nullfolge ist.

a_{k} = \frac{{(k!)}^{2}}{(2 k)!} = \frac{(k!) \cdot (k!)}{(2 k)!}

nun mit einsetzen von werten sieht mann schnell, dass der nenner schneller wächst und somit eine monoton fallende nullfolge da ist.

Aber wie kann ich das auch zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

21:24 Uhr, 17.06.2015

Hallo
du schreibst (2k)° als

k! \cdot (x + 1) \cdot (k - 2) \cdot . . (. k + k)

kürzt ein

k!

und hast dann

\frac{1}{k + 1} \cdot . \frac{2}{k + 2} . .

\cdot \frac{k}{2 k} <

Gruß ledum

anonymous

22:03 Uhr, 17.06.2015

oder Quotientenkriterium

schalkeboy aktiv_icon

16:52 Uhr, 18.06.2015

Also mit dem Quotientenkriterium konvergiert die folge

a_{k}

gegen 0

0 < 1

und somit ist die folge absolut konvergent.

Stimmt das so?

anonymous

23:04 Uhr, 18.06.2015

Hallo
Bitte, bemühe dich doch, dich ein wenig klarer auszudrücken.

"mit dem Quotientenkriterium konvergiert die folge

a_{k}

gegen 0"
Was soll das denn heissen?

a)

Willst du damit ausdrücken, dass die einzelnen Folgeglieder

a_{k}

gegen 0 tendieren?
Das mag ja sein. Aber das ist kein Kriterium.
Bedenke: Auch bei der Folge

\sum_{n \to \infty} \frac{1}{n}

tendieren die einzelnen Folgeglieder gegen 0.
Und dennoch ist das ein bekanntes Beispiel einer divergierenden Summe.

b)

Mit dem Quotientenkriterium wird normalerweise der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder untersucht.
Meintest du diesen Quotienten?
Falls ja, wohin tendiert der Quotient?

schalkeboy aktiv_icon

19:28 Uhr, 19.06.2015

Das Problem ist gelöst, danke .

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