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Konvergenz von Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz

EviOriginal aktiv_icon

20:53 Uhr, 28.11.2018

Hallo,
Ich habe folgende Aussagen und muss begründen, ob sie wahr oder falsch sind:

1)

Konvergiert

\sum_{n = 1}^{\infty}

an, so ist die Folge (an) mit

n \in ℕ

beschränkt

2)

Konvergiert

\sum_{n = 1}^{\infty}

an und ist (bn)

\subset ℂ

eine Folge mit |bn|

\leq 1

für alle

k \in ℕ,

so konvergiert auch

\sum_{n = 1}^{\infty}

(an*bn).

Wie kann ich das begründen bzw widerlegen?

Zu

1)

Ich weiß, dass die Reihe konvergent ist, wenn die Partialsummenfolge konvergiert (und damit auch beschränkt ist?). Und wenn die Partialsummenfolge (an) beschränkt ist, muss ja auch (an) beschränkt sein und andersrum oder nicht?

Zu

2)

was genau bedeutet |bn|

\leq 1,

was sagt mir der Betrag? Beschränktheit?
Kann ich das mit den Rechenregeln für konvergente Reihen zeigen? Also

\sum_{n = 1}^{\infty}

(an*bn) = bn*

\sum_{n = 1}^{\infty}

(an) ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:57 Uhr, 28.11.2018

Hallo,

ist

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

konvergent, so muss muss

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine Nullfolge sein (Trivialkriterium, hattet ihr vielleicht schon?).
Insbesondere muss sie konvergent sein! Und konvergente Folgen sind insbesondere beschränkt. (Ein oft behandeltes Resultat, wenn nicht vorhanden, auch leicht selbst zu beweisen!)

Mfg Michael

EviOriginal aktiv_icon

21:04 Uhr, 28.11.2018

Genau, danke! Trivialkriterium hatten wir: wenn die Reihe konvergent ist, so gilt lim_(n->oo)(an)

= 0

(also Nullfolge). Aber

\frac{1}{n}

ist für

lim_{n \to \infty}

auch

0,

aber auch nach oben durch 1 beschränkt (für

n \in ℕ)

. Also kann man sagen, dass an eine Nullfolge sein muss, aber jede konvergente Folge beschränkt ist?

Kannst du mir auch bei der zweiten Aufgabe helfen, bitte?

ledum aktiv_icon

11:37 Uhr, 30.11.2018

Hallo
"aber jede konvergente Folge beschränkt ist?"
ist hier schlecht und jede Nullfolge ist beschränkt wäre richtig.
zu

b,

überleg dir ein Gegenbeispiel wenn ak eine alternierende Nullfolge ist, etwa

a_{k} = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{1}{k}

Gruß ledum

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