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Konvergenz von Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenkriterium, Konvergenz, reih

RandomDude aktiv_icon

20:40 Uhr, 20.11.2019

Hallo,

ich habe paar Fragen bezüglich einer Aufgabe (siehe Anhang).
Es geht um die Konvergenz von Reihen. Ich habe zwar für jede Reihe Ansätze, bin mir aber nicht sicher ob diese legitim sind, da ich zum ersten Mal mit Reihen arbeite.

Zu

(a)

Man kann da doch ganz simpel das Wurzelkriterium nehmen sprich:

\sqrt[n]{(\frac{1}{n}) - (\frac{1}{n + 10})}

Daudurch kann das innere der Wurzel höchstens den Wert

\frac{1}{11}

erreichen und damit ist dies gesamte Wurzel kleiner als 1. Dadurch konvergiert die Folge absolut nach dem Wurzelkriterium.

Zu

(b)

Da habe ich paar Probleme bekommen, da mich das

i

etwas verwirrt. Wie gehe ich damit um?
Ich wollte das Wurzelkriterium benutzen jedoch komme ich am Ende auf:

\frac{\frac{1}{2} + \frac{i}{2}}{\sqrt[k]{k^{2} + 2}}

Ist dies der richtige Weg oder gibt es einen besseren/optimaleren?
Und wie zuvor gesagt was mache ich mit dem i?

Zu

(c)

Hier bin ich mir ziemlich unsicher, da man

(2 n)!

"geeignet" nach unten abschätzen soll.
Wie mache ich das und was wäre dabei das beste Kriterium?
Selber würde ich vermuten, dass man das Wurzelkriterium oder das Quotientenkriterium, da man womöglich etwas kürzen könnte.
Wie seht ihr das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

00:12 Uhr, 21.11.2019

a)

Das Wurzelkriterium liefert hier keine Aussage, da

lim \sqrt[n]{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 10}} = 1

Vergleiche

z . B

. mit der konvergenten Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

b)

Quotientenkriterium ( Betrag

!)

HAL9000

08:01 Uhr, 21.11.2019

(a) ist gewissermaßen eine Teleskopreihe im weiteren Sinne, was sogar die Reihenwertberechnung ermöglicht: Man kommt leicht zur Partialsumme

s_{k} = \sum_{n = 1}^{k} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 10}) = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} - \sum_{n = 11}^{k + 10} \frac{1}{n} = \sum_{n = 1}^{10} \frac{1}{n} - \sum_{n = k + 1}^{k + 10} \frac{1}{n}

welche erkennbar für

k \to \infty

gegen

\sum_{n = 1}^{10} \frac{1}{n}

konvergiert.

supporter aktiv_icon

08:14 Uhr, 21.11.2019

@Hal9000:

Könntest du mir bitte zeigen, wie man

(2 n)!

nach unter abschätzt?
Ich habe als Nicht-Profi damit keine Erfahrung.

HAL9000

10:09 Uhr, 21.11.2019

Für

n \geq 2

gilt

(2 n)! = \prod_{k = 1}^{2 n} k \geq \prod_{k = n - 1}^{2 n} k \geq (n - 1) \cdot n^{n + 1} (*)

,

einfach weil für jeden Faktor

k

außer dem ersten (d.h.

k = n - 1

) die Abschätzung

k \geq n

gilt, und davon gibt es

2 n - n + 1 = n + 1

Stück, daher der Exponent. Damit gilt dann

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n^{n}}{(2 n)!} \leq \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n^{n}}{(n - 1) \cdot n^{n + 1}} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n - 1) n} = 1

.

Die Abschätzung (*) ist grob (es werden einfach die ersten

n - 2

Faktoren des Fakultätsprodukts weggelassen), aber immer noch fein genug, damit man das Majorantenkriterium dann später einsetzen kann.

Man kann aber bei dieser Aufgabe auch gut mit dem Quotientenkriterium argumentieren, das ist für die meisten wohl naheliegender:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{(n + 1)}^{n + 1} (2 n)!}{(2 n + 2)! n^{n}} = \frac{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}{2 (2 n + 1)} < \frac{e}{2 (2 n + 1)} < \frac{1}{2}

für alle

n \geq 1

ermanus aktiv_icon

10:20 Uhr, 21.11.2019

Hallo,
oder so:

(2 n)! \geq n! n^{n}

, also

\sum \frac{n^{n}}{(2 n)!} \leq \sum \frac{1}{n!} = e

.
Gruß ermanus

supporter aktiv_icon

10:34 Uhr, 21.11.2019

Ich danke euch Spitzenmathemikern, dich mich immer wieder vor Neid erblassen und vor
Bewunderung staunen lassen.
Ein Lichtlein grüßt zwei Kronleuchter! :-)

RandomDude aktiv_icon

10:38 Uhr, 21.11.2019

Hallo,
erstmal vielen Dank für all eure Antworten.
Sobald ich mehr Zeit habe werde ich mir alle genauer ansehen.

Ich beziehe mich jetzt auf die erste Antwort.

Zu

a)

habe wahrscheinlich dass

lim

beim Wurzelkriterium vergessen.

Aber da du meintest ich soll die Reihe vergleichen. Du spielst wahrscheinlich auf das Majorantenkriterium an. Dies hatte ich schon mit

\frac{1}{n^{2}}

versucht jedoch nicht geschafft. Meine Ansätze zum Majorantenkriterium:

n - n + 10 \leq n^{2}

Nehmen wir den Kehrwert haben wir:

\frac{1}{n - n + 10} \geq \frac{1}{n^{2}}

Jedoch ist die linke Seite nicht unsere Reihe, deshalb wusste ich erstmal nicht weiter.

Dann habe ich es mit den einzelnen stücken versucht sprich:

n \leq n^{2} \Rightarrow \frac{1}{n} \geq \frac{1}{n^{2}}

(ist erstmal keine Aussage)

Aber zu

n + 10

kann ich ja keine solchen Ungleichung aufstellen oder?

Denke ich hierbei vielleicht bisschen zu kompliziert oder verfehle ich einen Ansatz?

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10:38 Uhr, 21.11.2019

Hallo,
erstmal vielen Dank für all eure Antworten.
Sobald ich mehr Zeit habe werde ich mir alle genauer ansehen.

Ich beziehe mich jetzt auf die erste Antwort.

Zu

a)

habe wahrscheinlich dass

lim

beim Wurzelkriterium vergessen.

Aber da du meintest ich soll die Reihe vergleichen. Du spielst wahrscheinlich auf das Majorantenkriterium an. Dies hatte ich schon mit

\frac{1}{n^{2}}

versucht jedoch nicht geschafft. Meine Ansätze zum Majorantenkriterium:

n - n + 10 \leq n^{2}

Nehmen wir den Kehrwert haben wir:

\frac{1}{n - n + 10} \geq \frac{1}{n^{2}}

Jedoch ist die linke Seite nicht unsere Reihe, deshalb wusste ich erstmal nicht weiter.

Dann habe ich es mit den einzelnen stücken versucht sprich:

n \leq n^{2} \Rightarrow \frac{1}{n} \geq \frac{1}{n^{2}}

(ist erstmal keine Aussage)

Aber zu

n + 10

kann ich ja keine solchen Ungleichung aufstellen oder?

Denke ich hierbei vielleicht bisschen zu kompliziert oder verfehle ich einen Ansatz?

Respon

10:45 Uhr, 21.11.2019

z . B

. so

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 10}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{10}{n^{2} + 10 \cdot n}) < 10 \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n^{2}})

RandomDude aktiv_icon

22:22 Uhr, 21.11.2019

Danke für den Tipp jetzt habe ich a problemlos hinbekommen.

Jetzt zu

b)

Ich habe das Quotientenkriterium angewendet und etwas gerechnet und komme auf den Ausdruck:

| \frac{{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})}^{k + 1} \cdot (k^{2} + 2)}{((k^{2} + 2 k + 3) \cdot {(\frac{1}{2} + \frac{i}{2})}^{k})} |

Aber sehe gerade nicht wie ich weitermachen kann.
Da in den Potenzen addiert wir und wir zwei verschiedene Klammern mit zwei verschiedenen Exponenten multiplizieren.

Respon

22:26 Uhr, 21.11.2019

Sollte in der ersten Klammer nicht

\frac{i}{2}

sein ?

RandomDude aktiv_icon

22:28 Uhr, 21.11.2019

Da hast du Recht wird sofort geändert

RandomDude aktiv_icon

14:41 Uhr, 22.11.2019

Tut mir leid. Leider komme ich gerade nicht weiter.
Wärst du bereit mir vielleicht noch etwas zu helfen?

HAL9000

16:53 Uhr, 22.11.2019

Vereinfache die Potenzen gemäß üblicher Potenzregeln, und bilde anschließend den Betrag, dann bist du schon mal sehr viel weiter.

Falls das immer noch nicht reicht: Es ist

\frac{z^{n + 1}}{z^{n}} = \frac{z^{n} \cdot z^{1}}{z^{n}} = z

auch für alle komplexen

z \neq 0

RandomDude aktiv_icon

18:14 Uhr, 22.11.2019

Achso danke dir.
Dadurch kann man ja ein Teil kürzen und den Rest mit dem Kehrwert multiplizieren.

Dadurch erhalte ich jedoch:

| (\frac{k^{2} + k^{2} i + 2 i + 2}{2 k^{2} + 4 k + 6}) |

Da kann ich ja nichts mehr einfach kürzen.
Hatte überlegt

k

auszuklammern, jedoch würde dies micht bei den

i' s

nicht weiterbringen.
Zudem steht in der Aufgabe nichts zum

i

also auch nicht ob es sich auf die komplexen Zahlen bezieht.

anonymous

19:13 Uhr, 22.11.2019

b)

"...da mich das

i

etwas verwirrt."
Zunächst mal müssen wir doch feststellen, dass das "n" etwas verwirrt.
Höchst wahrscheinlich handelt es sich doch um einen Druckfehler.
Das

\sum_{n = 1}^{\infty} . .

.
hätte doch höchstwahrscheinlich

\sum_{k = 1}^{\infty}

heissen sollen. Dann macht die Aufgabe einigermaßen Sinn und Anspruch.

"Zudem steht in der Aufgabe nichts zum

i

also auch nicht ob es sich auf die komplexen Zahlen bezieht."
Wenn es nicht im Aufgabenblatt oder Zusammenhang beschrieben steht, dann macht es keinen Sinn, hier im Forum zu fragen. Wir haben auch nicht mehr zu lesen und können's daher auch nicht besser wissen. Wir können auch nur spekulieren.
Aber:
Lass uns einfach mal davon ausgehen, dass

i

die imaginäre Einheit ist.
Auch dann macht die Aufgabe am ehesten Sinn.

Und dann - den Tipp von Respon aufgreifend - würde auch ich empfehlen, den Betrag herauszustellen und vor Augen zu führen.
Ich fange mal für dich an:

\frac{{(\frac{1}{2} + \frac{i}{2})}^{k}}{k^{2} + 2} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot {(1 + i)}^{k}}{k^{2} + 2} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k}}{k^{2} + 2} \cdot {[\sqrt{2} \cdot e^{\frac{i \cdot π}{4}}]}^{k}

= \frac{1}{2^{k} \cdot (k^{2} + 2)} \cdot {\sqrt{2}}^{k} \cdot e^{\frac{i \cdot π \cdot k}{4}}

= {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{k} \cdot \frac{1}{k^{2} + 2} \cdot e^{\frac{i \cdot π \cdot k}{4}}

= . .

.

willst du mal weiter...?

RandomDude aktiv_icon

19:15 Uhr, 22.11.2019

Hallo @Ermanus,

Danke für deine Hilfe.
Ich hätte eine Nachfrage bezüglich deiner Abschätzung in der oberen Antwort und zwar wie kann ich zeigen das gilt:

(2 n)! > n! n^{n}

Ich habe das per Induktion versucht komme jedoch nicht beim Induktionschritt weiter:

(2 n + 1)! > (n + 1)! {(n + 1)}^{n + 1}

(2 n + 1)! > (n + 1)! {(n + 1)}^{n} \cdot (n + 1)

Hättest du da einen Tipp?

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19:15 Uhr, 22.11.2019

Hallo @Ermanus,

Danke für deine Hilfe.
Ich hätte eine Nachfrage bezüglich deiner Abschätzung in der oberen Antwort und zwar wie kann ich zeigen das gilt:

(2 n)! > n! n^{n}

Ich habe das per Induktion versucht komme jedoch nicht beim Induktionschritt weiter:

(2 n + 1)! > (n + 1)! {(n + 1)}^{n + 1}

(2 n + 1)! > (n + 1)! {(n + 1)}^{n} \cdot (n + 1)

Hättest du da einen Tipp?

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19:15 Uhr, 22.11.2019

Hallo @Ermanus,

Danke für deine Hilfe.
Ich hätte eine Nachfrage bezüglich deiner Abschätzung in der oberen Antwort und zwar wie kann ich zeigen das gilt:

(2 n)! > n! n^{n}

Ich habe das per Induktion versucht komme jedoch nicht beim Induktionschritt weiter:

(2 n + 1)! > (n + 1)! {(n + 1)}^{n + 1}

(2 n + 1)! > (n + 1)! {(n + 1)}^{n} \cdot (n + 1)

Hättest du da einen Tipp?

HAL9000

21:21 Uhr, 22.11.2019

Es geht viel banaler: Das Fakultätsprodukt aufgetrennt ist

(2 n)! = n! \cdot \prod_{k = n + 1}^{2 n} k > n! \cdot \prod_{k = n + 1}^{2 n} n = n! \cdot n^{n}

,

schlicht weil jeder einzelne Faktor

k

in diesem Produkt größer als

n

ist, und dieses Produkt umfasst nun mal

2 n - (n + 1) + 1 = n

Faktoren. Auf derselben Abschätzungsidee basierte ja mein obiges (noch groberes)

(2 n)! \geq (n - 1) \cdot n^{n + 1}

.

Übrigens, wenn du es schon über Induktion beweisen willst: Da sollte es im Induktionsschritt

n \to n + 1

(2 (n + 1))! = (2 n + 2)!

gehen statt um

(2 n + 1)!

, das ist schon mal ein Kardinalfehler im Ansatz!

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